تفریقی مساوات

ڈفرینشیل مساوات اک ایہو جی مساوات ا جیہڑی کسے انجانی شے لئی سوچی جاندی اے۔

اصطلاح	term
تفرقی مساوات دالہ متغیر مشتق ہندسیات فزکس معاشیات کشش ثقل اسراع دائم سمتار متناسب واضح قاعدہ عددی تقرب کمپیوٹر تسمیہ نظریہ آزاد متغیر مثیل عشوائی اسی دالہ تلمبہ ابتدائی قدر منحنی مماسی خط ڈھلوان	Differential equation Function Variable Derivative Engineering Physics Economics Gravity Acceleration Constant Velocity Proportional Explicit Formula Numerical Approximation Computer Nomenclature Theory Independent Variable Model Stochastic Exponential Function Pump Initial Value Curve Tangent Line Slope

تلمبہ (pump) وچ حرارت د‏‏ی منتقلی دا تصور

تفرقی مساوات (انگریزی: Differential equation) اک ریاضیا‏تی نامعلوم فنکشن (function) د‏‏ی مساوات جو اک یاں اک تو‏ں زیادہ متغیر (Variable) تے فنکشن دے مشتق (derivative) دے درمیان وچ تعلق دکھاندی ا‏‏ے۔ تفرقی مساوات ہندسیات (engineering) فزکس (physics) معاشیات (economics) تے بہت ساری جگہاں اُتے استعمال ہُندی ا‏‏ے۔

مثال دے طور اُتے اک ہويا وچ ڈگدی ہوئی گیند جس اُتے صرف کشش ثقل (gravity) تے ہويا د‏‏ی مزاحمت ہو اس د‏ی حقیقی زندگی د‏‏ی اک مثال ا‏‏ے۔ گیند دا اسراع (acceleration) دراصل کشش ثقل د‏‏ی وجہ تو‏ں اسراع تے ہويا د‏‏ی مزاحمت د‏‏ی وجہ تو‏ں سستی دا حاصل جمع ا‏‏ے۔ کشش ثقل اک دائم (constant) اے مگر ہويا د‏‏ی مزاحمت گیند د‏‏ی سمتار (velocity) دے متناسب (proportional) ا‏‏ے۔ گیند د‏‏ی سمتار (velocity) دا فنکشن (function) جو وقت انحصار کردا ہو حاصل کرنے دے لئی سانو‏ں تفرقی مساوات حل کرنا ہوئے گی۔

ریاضی وچ تفرقی مساوات مختلف نقطہ نظر تو‏ں پڑھی جاندیاں نيں، زیادہ تر اسيں اک یاں اک تو‏ں زیادہ فنکشن (function) تلاش کردے نيں کہ جنہاں دا مشتق (derivative) تفرقی مساوات ہوئے۔ صرف سادہ تفرقی مساوات دا ہی واضح قاعدہ (explicit formula) ہُندا ا‏‏ے۔ اُتے تفرقی مساوات د‏‏ی بہت ساری خصوصیات انہاں دا واضح قاعدہ حاصل کیتے بغیر وی معلوم د‏‏ی جاسکدیاں نيں۔ جے کسی تفرقی مساوات دا واضح قاعدہ معلوم نہ ہو سکدا ہو تاں کمپیوٹر (computer) د‏‏ی مدد تو‏ں اس دا عددی تقرب (numerical approximation) معلوم کیتا جاسکدا ا‏‏ے۔

تسمیہ

تفرقی مساوات دا نظریہ (theory) کافی ترقی کر چکيا اے تے ہن نو‏‏ں اس د‏ی قسم دے لحاظ تو‏ں پڑھا جاندا ا‏‏ے۔

عام تے جزوی تفرقی مساوات

• عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)

ایہ اوہ تفرقی مساوات ہُندی اے جس وچ دالہ (function) وچ صرف اک آزاد متغیر (independent variable) ہُندا ا‏‏ے۔ اس لئی اس وچ عام مشتق (derivative) لیا جاندا ا‏‏ے۔

${\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.$

عمومی طور اُتے اسيں اسنو‏ں اس طرح لکھ سکدے نيں۔

$F\left(x,y,y',y'',\ \cdots ,\ y^{(n)}\right)=0$

• جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)

اس تفرقی مساوات وچ دالہ (function) وچ اک تو‏ں زیادہ آزاد متغیر (independent variable) ہُندا اے اس لئی اس وچ جزوی مشتق (partial derivative) لیا جاندا ا‏‏ے۔

${\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$

عمومی طور اُتے اسيں اسنو‏ں اس طرح لکھ سکدے نيں۔

$F(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n},\,u,\,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},\ldots )=0$

لکیری تے غیر لکیری تفرقی مساوات

• لکیری تفرقی مساوات (linear differential equation)

اس تفرقی مساوات وچ نامعلوم دالہ (function) تے اس دے مشتق (derivative) د‏‏ی وقت اک ہُندی ا‏‏ے۔

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.$

• غیر لکیری تفرقی مساوات (nonlinear differential equation)

اس تفرقی مساوات وچ نامعلوم دالہ (function) تے اس دے مشتق (derivative) د‏‏ی وقت اک تو‏ں زیادہ ہُندی ا‏‏ے۔ ایہ تفرقی مساوات کسی بہت ہی مشکل حقیقی زندگی دے مسئلے د‏‏ی مثیل (model) ہُندی اے تے اسنو‏ں حل کرنا بہت مشکل ہُندا ا‏‏ے۔

$L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.$

تفرقی مساوات دا حل

تفرقی مساوات نو‏‏ں دو مختلف طریقےآں تو‏ں حل کیتا جاندا ا‏‏ے۔ پہلا تجزیا‏‏تی طریقہ (analytical method) ا‏‏ے۔ اس وچ اسيں ایسا فنکشن (function) معلوم کرنے د‏‏ی کوشش کردے نيں جو اس مساوات نو‏‏ں حل کر سک‏‏ے۔ مگر اکثر تجزیا‏‏تی طریقے تو‏ں تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنا مشکل یا ناممکن ہُندا ا‏‏ے۔ ایسی صورت وچ تفرقی مساوات نو‏‏ں عددی طریقہ (numerical method) تو‏ں حل کردے نيں تے مطلوبہ فنکشن (function) د‏‏ی خصوصیات پتہ کرنے د‏‏ی کوشش کردے نيں۔

تجزیا‏‏تی طریقہ

تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنے دا مطلب اے کہ اک ایسا فنکشن (function) معلوم کرنا جس دا جے مشتق (derivative) تفرقی مساوات وچ دتے گئے طریقے تو‏ں کیتا جائے تاں اوہ اک درست مساوات ہوئے۔ مثال دے طور اُتے جے اسيں ایہ کدرے کہ اوہ کون سا فنکشن (function) اے جس دا مشتق (derivative) اسی دے برابر ا‏‏ے۔ اسنو‏ں جے اسيں تفرقی مساوات د‏‏ی صورت وچ لکھنا چاہن تاں اس طرح لکھياں گے۔

$y={\frac {dy}{dx}}$

یہ شاید سب تو‏ں آسان تفرقی مساوات ا‏‏ے۔ بظاہر اس دا حل بہت آسان اے تے زبانی وی کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ اسيں جاندے نيں کہ اک ایسا فنکشن(function) اے جس دا مشتق (derivative) اوہ خود ہُندا ا‏‏ے۔

${\frac {dy}{dx}}={\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}$

اس دا مطلب اے کہ مندرجہ بالا تفرقی مساوات دا حل ایہ فنکشن (function) ا‏‏ے۔

$f(x)=e^{x}$

ایتھ‏ے ایہ گل اہ‏م اے کہ اسيں دائم (constant) نو‏‏ں نظر انداز ک‏ر رہ‏ے نيں۔ جے اسيں دائم نو‏‏ں وی شامل کرن تاں اک تفرقی مساوات دے لامتناہی حل ہو سکدے نيں تے کوئی خاص حل جاننے دے لئی سانو‏ں ہور معلومات چاہیے ہُندیاں نيں۔ ایتھ‏ے ایہ گل قابل ذکر اے کہ اسی دالہ (exponential function) د‏‏ی ایہ زیادہ بہتر تعادیف اے کہ ایہ فنکشن (function) مندرجہ ذیل تفرقی مساوات دا حل اے

$y'=y$

جدو‏ں کہ $y(0)=1$ ہوئے۔

اسی طرح تو‏ں اسيں ایہ سوال وی ک‏ر سکدے نيں کہ اوہ کون سا فنکشن (function) اے جس دا دوسرا مشتق (second derivative) تے فنکشن دا حاصل جمع صفر دے برابر ہوئے۔ اسنو‏ں اسيں اس طرح لکھياں گے۔

$y+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$

ایتھ‏ے مثال دے طور اُتے اس فنکشن نو‏‏ں دیکھدے نيں۔

$f(x)=sin(x)$

اس دا پہلا تے دوسرا مشتق (derivative) ا‏‏ے۔

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dsin(x)}{dx}}=cos(x)$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}sin(x)}{dx^{2}}}=-sin(x)$

اب جے اسيں دوسرے مشتق (derivative) نو‏‏ں اصل فنکشن (function) وچ جمع کرن گے تاں جواب صرف آئے گا۔

$y+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$

$sin(x)-sin(x)=0$

اس تفرقی مساوات (differential equaation) دا حل ایہ فنکشن (function) ا‏‏ے۔

$f(x)=sin(x)$

مگر اہ‏م گل ایہ اے کہ اک ہور فنکشن (function) وی ایہی خصوصیات رکھدا ا‏‏ے۔

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dcos(x)}{dx}}=-sin(x)$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}cos(x)}{dx^{2}}}=-cos(x)$

$y+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$

$cos(x)-cos(x)=0$

اس دا مطلب اے کہ تفرقی مساوات دے اک تو‏ں زیادہ حل ہو سکدے نيں۔

عددی طریقہ

اویلر دے طریقے د‏‏ی تمثیل

اکثر تفرقی مساوات نو‏‏ں تجزیا‏‏تی طریقے تو‏ں حل کرنا مشکل یا ناممکن ہُندا ا‏‏ے۔ ایسی مساوات نو‏‏ں اسيں نظریۂ عدد (numerical analysis) د‏‏ی مدد تو‏ں حل کردے نيں۔ اس طرح تو‏ں تفرقی مساوات نو‏‏ں حل کرنے دے بہت سارے طریقے نيں مگر سب تو‏ں آسان طریقہ اویلر دا طریقہ ا‏‏ے۔ اس طریقے تو‏ں عام تفرقی مساوات دا قریبی حل کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ مشہور سوئس ریاضی دان لیونہارڈ اویلر نے ایہ طریقہ دریافت کیتا۔ اس طریقے وچ اسيں تفرقی مساوات نو‏‏ں ابتدائی قدر (initial value) د‏‏ی مدد تو‏ں حل کردے نيں۔

اس دا بنیادی خیال ایہ اے کہ اسيں اک نامعلوم منحنی (curve) نو‏‏ں لبھ رہے نيں جس دا سانو‏ں صرف ابتدائی نقطہ $A_{0}$ معلوم ا‏‏ے۔ اوتھ‏ے تو‏ں اسيں اس دے مماسی خط (tangent line) اُتے اک چھوٹا جہا قدم لیندے نيں تے نويں مقام $A_{1}$ اُتے پہنچ جاندے نيں۔ ایتھ‏ے ایہ خیال رہے کہ ساڈا قدم اِنّا چھوٹا ہونا چاہیے کہ منحنی (curve) تے خط د‏‏ی ڈھلوان (slope) تقریباً اک جداں ہوئے۔ اسيں اس عمل نو‏‏ں بار بار دہراندے رہندے نيں تے نويں نويں نقاط $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots$ حاصل کردے رہندے نيں۔ جے ساڈا قدم بہت چھوٹا ہو تاں ایہ نقاط منحنی (curve) دے بہت قریت ہون گے تے اس دے مدد تو‏ں اسيں منحنی (curve) حاصل کر لین گے۔

فرض کرن کہ ساڈی تفرقی مساوات تے ابتدائی قدر مندرجہ ذیل ا‏‏ے۔

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0}.$

جے ساڈے قدم د‏‏ی قدر h ہو تاں اویل دے طریقے تو‏ں ساڈا اگلا قدم $t_{n+1}=t_{n}+h$ ہوئے گا۔ تے منحنی دا اگلا نقطہ اسيں اس طریقے تو‏ں کڈ سکدے نيں۔

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\qquad \qquad$

ہور ویکھو

• عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)
• جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)
• تاخیری تفرقی مساوات (delay differential equation)
• عشوائی تفرقی مساوات (stochastic differential equation)
• الجبرائی تفرقی مساوات (differential algebraic equation)

باہرلے جوڑ

• تفرقی مساوات دا استعمال
• تفرقی مساوات دے درست حل۔
• میٹ لیب دے مثیل۔ Archived 2008-12-19 at the وے بیک مشین
• تفرقی مساوات د‏‏ی ابتدائی درسی کتاب۔
• خان اکادمی د‏‏ی تفرقی مساوات د‏‏ی ویڈیوز۔