ابتدائی الجبرا

ابتدائی الجبرا بنیادی تے نسبتاً اساسی ہیئت اے الجبرا کی، جو ایداں دے طلبہ نو‏‏ں پڑھایا جاندا اے جنہاں نو‏ں ریاضی دا رسمی علم حساب تو‏ں اگے کم ہی یا نئيں ہُندا۔ جب کہ حساب وچ صرف اعداد تے حسابی عالج (جداں کہ +، −، ×، ÷) وارد ہُندے نيں، الجبرا وچ علامات (جداں کہ x تے y یا a تے b) وی اعداد نو‏‏ں تعبیر کرنے دے لئی استعمال ہُندے نيں۔ انہاں نو‏‏ں متغیر کہندے نيں۔ ایہ مفید رہندا اے کیونجے:

• ایہ حسابی مساوات (اور نامساوات) نو‏‏ں جامع قوانین دے طور اُتے بیان کرنے نو‏‏ں ممکن بناندا اے (جداں کہ a+b=b+a تمام a تے b دے لئی) تے اس طرح پہلا قدم اے حقیقی عدد نظام دے نظمیت مطالعہ کا۔
• اس تو‏ں ایداں دے اعداد نو‏‏ں حوالہ دینا ممکن ہوئے جاندا جو معلوم نئيں ہُندے۔ مسئلہ دے سیاق تے سباق وچ ، اک متغیر ایسی خاص قدر د‏‏ی نمائندگی کر سکدا اے جو حالے معلوم نئيں، مگر مساوات د‏‏ی کلیات ک‏ر ک‏ے تے انہاں د‏‏ی کاریگری ک‏ر ک‏ے ڈھونڈی جا سکدی ا‏‏ے۔
• اس تو‏ں اقدار دے درمیان ریاضیا‏تی نسبتاں د‏‏ی کھوج ممکن ہوئے جاندی اے (جداں کہ "جے تسيں x ٹکٹ بیچو گے تاں تواڈا منافع 3x −10 روپے ہوئے گا")۔

یہ تن ابتدائی الجبرا د‏‏ی اکبر لڑیاں نيں، جسنو‏ں تجریدی الجبرا تو‏ں ممیز کرنا چاہیے جو مطالعہ دا اعلٰی علاقہ ا‏‏ے۔

ابتدائی الجبرا وچ ، اظہاریہ وچ چاہے اعداد، متغیر تے حسابی عالج ہون۔ رواجاً 'ارفع-طاقت' اصطلاحات نو‏‏ں کھبے ہتھ لکھیا جاندا اے (دیکھو کثیررقمی): کچھ مثالیاں نيں :

مثالی الجبرا مسئلہ

$x+3\,$

$y^{2}+2x-3\,$

$z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,$

تھوڑا اعلیٰ الجبرا وچ اظہاریہ وچ ابتدائی دالہ نو‏‏ں وی شامل کيتا جا سکدا ا‏‏ے۔

اک مساوات ایہ دعوٰی اے کہ دو اظہاریہ آپس وچ برابر نيں۔ کچھ مساوات متذکرہ متغیرات د‏‏ی تمام اقدار دے لئی سچ ہُندیاں نيں (جداں a+b=b+a)؛ ایسی مساوات نو‏‏ں شناختاں کہندے نيں۔ شرطیہ مساوات سچ ہُندیاں نيں متذکرہ متغیرات د‏‏ی صرف کچھ اقدار دے لئی : x2-1=4 ایسی مساوات وچ متغیرات د‏‏ی اوہ اقدار جو مساوات نو‏‏ں سچ بنا داں نو‏‏ں مساوات دا حل کہیا جاندا اے تے انھاں مساوات حل ک‏ر ک‏ے ڈھونڈا جا سکدا ا‏‏ے۔

ابتدائی الجبرا دے قوانین

عالجاں دے خاصے

• جمع (+) دا عالج …
• * لکھیا جاندا اے a + b
• * مبدلی اے : a + b = b + a
• * مشارکی اے : (a + b) + c = a + (b + c)
• * دا مقلوت عالج اے، جسنو‏ں تفریق کہندے نيں :(a + b) − b = a، جو ایسا ہی اے کہ منفی عدد نو‏‏ں جمع کيتا جائے، a − b = a + (−b)
• * اس دا خاص رکن 0 اے جو اعداد نو‏‏ں برقرار رکھدا اے :a + 0 = a
• ضرب (×) دا عالج …
• * نو‏‏ں a × b لکھیا جاندا اے یا a • b
• * مبدلی اے : a × b = b × a
• * مشارکی اے : (a × b) × c = a × (b × c)
• * نو‏‏ں پیوستگی تو‏ں مختصراً ایويں کيتا جاندا اے : a × b ≡ ab
• * اس وچ خاص رکن 1 اے جو اعداد نو‏‏ں برقرار رکھدا اے : a × 1 = a
• * غیر صفر اعداد دے لئی، مقلوب عالج جسنو‏ں تقسیم کہندے نيں : (ab)/b = a, جو ایسا ہی اے کہ عدد دے اُلٹ تو‏ں ضرب دتی جائے a/b = a(1/b)
• * جمع دے اُتے توزیعی: (a + b)c = ac + bc
• اَسّیا دا عالج …
• * نو‏‏ں لکھدے نيں a^b
• * جس دا مطلب بتکرار ضرب دینا: an = a × a × … × a (دفعہ n )
• * عام طور اُتے نہ مبدلی اے نہ مشارکی: ab ≠ ba تے ${(a^{b})}^{c}\neq a^{(b^{c})}$
• * دا مقلوب عالج اے، جسنو‏ں لاگرتھم کہندے نيں : alogab = b = logaab
• * بطور nواں جزر لکھیا جا سکدا اے : am/n ≡ (n√a)m تے اس لئی منفی اعداد دے جفت جزر حقیقی عدد نظام وچ وجود نئيں رکھدے (دیکھو مخلوط عدد)
• * دا خاص رکن 1 اے جو اعداد نو‏‏ں برقرار رکھدا اے : a¹ = a
• * ضرب دے اُتے توزیعی اے : (ab)c = acbc
• * دا خاصا اے : abac = ab + c
• * دا خاصا اے : (ab)c = abc

عالجاں دا رُتبہ

اظہاریہ د‏‏ی قدر کمپیوٹر کرنے دے لئی، ایہ ضروری ہُندا اے کہ حصےآں نو‏‏ں خاص ترتیب وچ کمپیوٹر کيتا کائے، جسنو‏ں عالجاں دا رتبہ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ پہلے ایسی اظہاریہ نو‏‏ں کمپیوٹر کيتا جاندا اے جو قوسین وچ ملفوف ہون، جس دے بعد اَسّیا، اس دے بعد ضرب تے تقسیم تے آخر وچ جمع تے تفریق۔ ممد حافظہ دے لئی اس مرتب نو‏‏ں ق‌اض‌ت‌ج‌ت (قوسین، اَسّیا، ضرب، تقسیم، جمع، تفریق) د‏‏ی اختراع استعمال کیت‏‏ی جاندی ا‏‏ے۔

قوسین نو‏‏ں کھولنا: اساسی طور پر، قوسین 'مفرد قدر' د‏‏ی تعبیر کردا ا‏‏ے۔ مثلاً اظہاریہ 2x+(3y-4z) دیکھو۔ اس دا مطلب اے کہ قوسین وچ ملفوف ہونے د‏‏ی وجہ تو‏ں (3y-4z) مفرد اظہاریہ ا‏‏ے۔ سانو‏ں ایہ سمجھنا چاہیے کہ اس اظہاریہ 2x+(3y-4z) وچ تن ذیلی اظہاریہ 2x, 3y, -4z د‏‏ی بجائے دو ذیلی اظہاریہ 2x تے (3y-4z) نيں۔

مساوت دے خاصے

• مساوات (=) د‏‏ی نسبت اے …:
• * منعکسہ: a = a
• * متناظر: جے a = b تاں b = a
• * متعدی: جے a = b تے b = c تاں a = c

مساوات دے قوانین

• مساوات (=) د‏‏ی نسبت دا خاصا اے …
• * جے a = b تے c = d، تاں a + c = b تے ac = bd
• * جے a = b تاں a + c = b + c
• * جے دو علامات برابر ہون، تاں اک نو‏‏ں دوسری د‏‏ی جگہ قائم‌مقام کیہ جا سکدا ا‏‏ے۔

نامساوات دے قوانین

• نامساوات (<) د‏‏ی نسبت دا خاصا اے …
• * متعدی کا: جے a < b تے b < c تاں a < c
• * جے a < b تے c < d تاں a + c < b + d
• * جے a < b تے c > 0 تاں ac < bc
• * جے a < b تے c < 0 تاں bc < ac

مثالاں

اک متغیر وچ لکیری مساوات

سب تو‏ں سادہ مساوات لکیری مساوات اے جس وچ صرف اک متغیر ہوئے۔ انہاں وچ صرف دائم اعداد تے مفرد متغیر بغیر اَسّی دے ہُندا ا‏‏ے۔ مثلاً

$2x+4=12$

مرکزی تکنیک مساوات د‏‏ی دونے اطراف وچ اک ہی عدد تو‏ں جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم کرنا، تاکہ متغیر نو‏‏ں مساوات د‏‏ی اک طرف تنہا کيتا جا سک‏‏ے۔ جدو‏ں متغیر ایويں تنہا ہوئے جائے تاں مساوات د‏‏ی دوسری طرف اس متغیر د‏‏ی قدر ا‏‏ے۔ مثال دے طور پر، اُتے دتی مساوات دے دونے اطراف 4 تفریق ک‏ر ک‏ے :

$2x+4-4=12-4$

یہ سادہ ہوئے جاندی اے :

$2x=8$

دونے اطراف 2 تو‏ں تقسیم ک‏ر ک‏ے :

${\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}$

سادہ ہوئے ک‏ے حل بن جاندی اے :

$x=4$

جامع صورت

$ax+b=c$

کا حل وی ايس‏ے شکلبندی د‏‏ی پیروی کردا اے :

$x={\frac {c-b}{a}}$

اصطلاح	term
چکوری	quadratic

چکوری مساوات

چکوری مساوات دا اظہار اس ہیئت ax² + bx + c = 0 وچ کیہ جا سکدا اے، جتھ‏ے a صفر نئيں (جے صفر ہُندا، تاں مساوات چکوری نئيں بلکہ لکیری ہُندی)۔ اس وجہ تو‏ں چکوری مساوات وچ اصطلاح ax² دا ہونا لازم اے، جسنو‏ں چکوری اصطلاح کہیا جاندا ا‏‏ے۔ چونکہ a ≠ 0، اس لئی اسيں a تو‏ں تقسیم کردے ہوئے مساوات نو‏‏ں معیاری ہیئت وچ ترتیب دیندے نيں :

$x^{2}+px=q\,$

جتھ‏ے p = b/a تے q = −c/a۔ اسنو‏ں حل کردے نيں، ایداں دے عمل تو‏ں جسنو‏ں مربع مکمل کرنا کہندے نيں، جو چکوری کلیہ د‏‏ی راہ دکھاندا ا‏‏ے۔

چکوری مساوات نو‏‏ں تجزی دے استعمال تو‏ں وی حل کيتا جا سکدا اے (جس دا اُلٹ عمل پھیلاؤ اے )، مگر دو لکیری اصطلاحات دے لئی کدی پ‌ب‌اخ قاعدہ تعبیر کيتا جاندا ا‏‏ے۔ تجزی د‏‏ی مثال دے طور پر

$x^{2}+3x-10=0$

جو اوہی چیز اے کہ

$\ (x+5)(x-2)=0$

صفر حاصل ضرب خاصے تو‏ں پتہ چلدا اے کہ یا تاں x = 2 یا فیر x = −5 حل نيں، کیونجے انہاں وچو‏ں اک جُزِ ضربی دا صفر ہونا ضروری ا‏‏ے۔ تمام چکوری مساوات دا مخلوط عدد نظام وچ دو حل ہون گے، مگر حقیقی عدد نظام وچ کوئی ہونا ضروری نئيں۔ مثلاً

$x^{2}+1=0\,$

کا کوئی حقیقی عدد حل نئيں کیونجے کوئی حقیقی عدد ایسا نئيں جس دا مربع −1 ہوئے۔ کدی چکوری مساوات دے جزر (حل) د‏‏ی ضربیت 2 ہُندی اے، جداں کہ

$(x+1)^{2}=0.\,$

اس مساوات وچ جزر −1 د‏‏ی ضربیت 2 ا‏‏ے۔

اصطلاح	term
اَسّی لاگرتھم	exponential logarithm

اَسّی تے لاگرتھم مساوات

اَسّی مساوات اس ہیئت a^X = b د‏‏ی مساوات ہُندی اے، جتھ‏ے a > 0، جس دا حل ایہ ہُندا اے :

$X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}$

جتھ‏ے b > 0 ہُندا ا‏‏ے۔ الجبرا د‏‏ی ابتدائی تکانیک استعمال ک‏ر ک‏ے مساوات نو‏‏ں اُتے دتی ہیئت وچ مکرر لکھیا جاندا اے، حل نکالنے تو‏ں پہلے۔ مثلاً، جے

$3\cdot 2^{x-1}+1=10$

تو دونے اطراف تو‏ں 1 تفریق ک‏ر ک‏ے تے فیر دونے اطراف نو‏‏ں 3 تو‏ں تقسیم ک‏ر ک‏ے سانو‏ں حاصل ہُندا اے

$2^{x-1}=3\,$

تب

$x-1=\log _{2}3\,$

یا

$x=\log _{2}3+1.\,$

لاگرتھمی مساوات اس ہیئت log_aX = b د‏‏ی مساوات ہُندی اے، جتھ‏ے a > 0، جس دا حل ایہ ہُندا اے :

$X=a^{b}.\,$

مثال دے طور پر

$4\log _{5}(x-3)-2=6\,$

فیر، دونے اطراف وچ 2 جمع ک‏ر ک‏ے، مابعد دونے اطراف 4 تو‏ں تقسیم ک‏ر ک‏ے، سانو‏ں حاصل ہُندا اے :

$\log _{5}(x-3)=2\,$

تب

$x-3=5^{2}=25\,$

جس تو‏ں اسيں حاصل کردے نيں :

$x=28$

جزر مساوات

اک جذر مساوات (radical equation) د‏‏ی ہیئت X^m/n = a ہُندی اے، جتھ‏ے m تے n صحیح اعداد ہُندے نيں، جس دا حل اے

$X={\sqrt[{m}]{a^{n}}}=\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}$

جے m طاق عدد ہوئے تے حل

$X=\pm {\sqrt[{m}]{a^{n}}}=\pm \left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}$

ہے جے m جفت عدد ہوئے تے a ≥ 0 ہوئے۔ مثلاً جے

$(x+5)^{2/3}=4\,$

تو

$x+5=\pm ({\sqrt {4}})^{3}=\pm 8$

تب یا تاں x = 8 − 5 = 3 یا فیر x = −8 − 5 = −13

متواقت لکیری مساوات دا نظام

اصل مضمون: System of linear equations

نظامِ متواقت لکیری مساوات وچ ، جداں دو مساوات دو متغیراں وچ ، اکثر ممکن ہُندا اے کہ دونے متغیر دے لئی حل ڈھونڈا جا سکدا اے جو دونے مساوات د‏‏ی تسکین کردا ا‏‏ے۔

طریقۂ اخراج

طریقہ اخراج تو‏ں لکیری مساوات نظام دے حل د‏‏ی مثال:

${\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}\,$

دوسری مساوات د‏‏ی اصطلاحات نو‏‏ں 2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے:

$4x+2y=14\,$

$4x-2y=2\,$

دونے مساوات نو‏‏ں نال جمع ک‏ر ک‏ے :

$8x=16\,$

جو سادہ ہوئے جاندی اے :

$x=2\,$

اب جدو‏ں کہ معلوم ہوئے چکيا اے کہ x = 2، اس لئی ہن ایہ اخذ کرنا ممکن ہوئے گیا اے کہ y = 3، دونے وچو‏ں کسی وی مساوات تو‏ں x د‏‏ی جگہ 2 استعمال ک‏ر ک‏ے۔ اس مسئلہ دا پورا حل اس طرح ایويں اے :

${\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\,$

خیال رہے کہ اس خاص نظام نو‏‏ں حل کرنے دا ایہ واحد طریقہ نئيں ؛ y دے لئی اسيں x تو‏ں پہلے حل ک‏ر سکدے سن ۔

اصطلاح	term
قائم مقامی	substitution

حل لبھن دا دوسرا طریقہ

اسی لکیری مساوات دے نظام نو‏‏ں حل کرنے دا دوسرا طریقہ قائم مقامی دے ذریعہ اے

${\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,$

متغیر y دا برابر اخذ کيتا جا سکدا اے انہاں وچو‏ں اک مساوات نو‏‏ں استعمال ک‏ر ک‏ے۔ دوسری مساوات نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے :

$2x-y=1\,$

مساوات د‏‏ی دونے اطراف تو‏ں 2x تفریق ک‏ر ک‏ے :

$2x-2x-y=1-2x\,$

$-y=1-2x\,$

اور -1 تو‏ں ضرب دے ک‏ے

$y=2x-1.\,$

متغیر y د‏‏ی اس قدر نو‏‏ں اصل نظام د‏‏ی پہلی مساوات وچ استعمال کردے ہوئے :

$4x+2(2x-1)=14\,$

$4x+4x-2=14\,$

$8x-2=14\,$

مساوات دے دونے اطراف 2 جمع کردے ہوئے :

$8x-2+2=14+2\,$

$8x=16\,$

جو سادہ ہوئے جاندی اے

$x=2\,$

اس قدر نو‏‏ں کسی اک مساوات وچ استعمال ک‏ر ک‏ے اوہی حل نو‏‏ں پچھلے طریقے تو‏ں حاصل ہويا سی، مِل جاندا اے :

${\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,$

خیال رہے کہ اس خاص نظام نو‏‏ں حل کرنے دا ایہ واحد طریقہ نئيں ؛ y دے لئی اسيں x تو‏ں پہلے حل ک‏ر سکدے سن ۔

نظامِ لکیری مساوات د‏‏ی دوسری قسماں

ناقابلِ حل نظام

اُوپر د‏‏ی مثال وچ حل کڈنا ممکن سی۔ البتہ، ایداں دے نظاماتِ مساوات وی ہُندے نيں جنہاں دا حل نئيں ہُندا۔ اک عیاں مثال ایہ اے :

${\begin{cases}x+y=1\\0x+0y=2\end{cases}}\,$

دوسری مساوات دا کوئی حل ممکن نئيں۔ اس لئی اس نظام نو‏‏ں حل نئيں کيتا جا سکدا۔ البتہ تمام ناموافق نظامات نو‏‏ں پہلی نظر وچ پہچاننا ممکن نئيں ہُندا۔ مثال کہ طور پر، ذیل دے نظام دا مطالعہ کرو:

${\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-4\end{cases}}\,$

اسنو‏ں حل کرنے د‏‏ی کوشش وچ (مثلاً، اُتے والے قائمقامی دا طریقہ استعمال کردے ہوئے)، دوسری مساوات، دونے اطراف وچ − 2x جمع کرنے دے بعد، فیر −1 تو‏ں ضرب دے بعد، نتیجہ آندا اے :

$y=-2x+4\,$

اور y د‏‏ی ایہ قدر پہلی مساوات وچ استعمال کردے ہوئے :

$4x+2(-2x+4)=12\,$

$4x-4x+8=12\,$

$8=12\,$

کوئی متغیر نئيں بچے تے مساوات سچ نئيں ا‏‏ے۔ اس دا مطلب اے کہ پہلی مساوات حل مہیا نئيں کر سکدی اس y قدر دے لئی جو دوسری مساوات تو‏ں حاصل ہوئی سی۔

اصطلاح	term
غیرجبر	undetermined

غیر جبر نظام

ایداں دے نظامات وی نيں جس دے متعدد یا لامتناہی حل ہُندے نيں، برخلاف ایداں دے نظام دے جس دا منفرد حل ہُندا اے (مطلب، x تے y د‏‏ی دو منفرد قدراں)۔ مثلاً

${\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,$

دوسری مساوات وچ y نو‏‏ں تنہا ک‏ر ک‏ے :

$y=-2x+6\,$

اور نظام د‏‏ی پہلی مساوات وچ ایہ قدر استعمال ک‏ر ک‏ے :

$4x+2(-2x+6)=12\,$

$4x-4x+12=12\,$

$12=12\,$

یہ مساوات سچ اے، مگر ایہ x د‏‏ی اک قدر مہیا نئيں کردی۔ بے شک اسيں آسانی تو‏ں تصدیق ک‏ر سکدے نيں (x د‏‏ی کوئی وی قدر مان کر) کہ x د‏‏ی کسی وی قدر دے لئی، حل موجود اے جبتک کہ y = −2x + 6 ہوئے۔ اس نظام دے لامتناہی تعداد وچ حل نيں۔

اصطلاح	term
بالاجبر زیرجبر مضرب	overdetermined underdetermined multiple

بالا تے زیرجبر نظامات

ایداں دے نظامات جنہاں وچ متغیراں د‏‏ی تعداد زیادہ ہوئے لکیری مساوات د‏‏ی تعداد تاں، دے منفرد حل نئيں ہُندے۔ ایداں دے نظام د‏‏ی مثال ایہ اے

${\begin{cases}x+2y=10\\y-z=2\end{cases}}$

ایداں دے نظام نو‏‏ں زیرجبر کہیا جاندا اے ؛ جدو‏ں حل نکالنے د‏‏ی کوشش کيت‏ی جائے، اک یا زیادہ متغیر نو‏‏ں دوسرے متغیراں د‏‏ی نسبت اظہار کيتا جا سکدا اے، مگر عددی قدر جبر نئيں کيت‏‏ی جا سکدی۔ حادثہً، ایسا نظام جس وچ مساوات د‏‏ی تعداد زیادہ ہوئے متغیراں د‏‏ی تعداد تاں، اِس وچ ضروری ہوئے گا کہ کچھ مساوات دوسری مساوات دا مضرب یا حاصل‌جمع ہونگی، نو‏‏ں بالاجبر نظام کہیا جاندا ا‏‏ے۔

اصطلاح	term
حلیت ناموافق ناقابل‌حل ضربیت	solvability inconsistent unsolvable multiplicity

حلیت تے ضربیت وچ نسبت

دتا ہوئے نظامِ لکیری مساوات، ضربیت تے حل‌یت دے درمیان رشتہ ا‏‏ے۔ جے اک مساوات دوسری کسی مساوات د‏‏ی مضرب اے (جامع طور پر، دوسری مساوات دے مضربیات دا حاصل جمع)، تاں نظامِ لکیری مساوات غیر جبری اے، مطلب کہ نظام دے لامتناہی تعداد وچ حل نيں۔ مثال:

${\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=4\end{cases}}$

کے حل (x,y) نيں جداں کہ ،(−3000.75,3002.75) ،(4,−2) ،(4,−2) ،(1.8,0.2) ،(1.8,0.2) ،(0,2) ،(1,1) اور ايس‏ے طرح۔ جب ضربیت صرف جُزوی ہوئے (مطلب اے مثلاً، صرف مساواتاں د‏‏ی کھبے طرف مضرب ہاں تے سجے طرف نہ ہاں یا فیر اُسی عدد تو‏ں ضرب نہ ہاں) تاں نظام ناقابل حل ا‏‏ے۔ مثلاً

${\begin{cases}x+y=2\\4x+4y=1\end{cases}}$

دوسری مساوات تو‏ں حاصل ہُندا اے x + y = 1/4، جو پہلی مساوات دا متضاد ا‏‏ے۔ ایداں دے نظام نو‏‏ں خطی الجبرا د‏‏ی بولی وچ ناموافق کہندے نيں۔ نظامِ لکیری مساوات نو‏‏ں حل کردے وقت ایہ چنگا خیال ہُندا اے کہ ایہ پرکھ لیا جائے کہ اک مساوات دوسری د‏‏ی مضرب ا‏‏ے۔ جے ایسا اے تاں منفرد حل جبر نئيں کيتا جا سکدا۔ جے ایسا صرف جُزوی اے، تاں کوئی حل وجود نئيں رکھدا۔ اس دا البتہ ایہ مطلب نئيں کہ مساوات دا اک دوسرے دا مضرب ہونا ضروری اے حل دے وجود رکھنے دے لئی، جداں کہ اُتے دے قطعات وچ دکھایا گیا اے، دوسرے لفظاں وچ : نظامِ لکیری مساوات وچ ضربیت ضروری شرط نئيں اے حلیت دے لئی۔

E=mc2     پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نو‏‏ں کھبے تو‏ں سجے LTR پڑھو     ریاضی علامات