ہلبرٹ سپیس

کوانٹم مکینکس دے تیز وکاس نے اک رہسمئی گنتک ڈھانچے دے وکاس دی منگ کیتی ۔ بھاویں تیز وکاس کرکے اجیہے پل آئے سن، جدوں انے کٹھن فارمولے نہیں ورتے جاندے سن، ایہہ فارمولے بعد وچّ سیٹ کیتے گئے اتے گنتک درشٹیکون نال کٹھنتا نال ثابت کیتے گئے ۔

The state of a vibrating string can be modeled as a point in a Hilbert space. The decomposition of a vibrating string into its vibrations in distinct overtones is given by the projection of the point onto the coordinate axes in the space.

ہلبرٹ سپیس وچّ اوپریٹراں دے وکاس راہیں، پہلا سنسلیشن جوہن وون نیومن دواراں محسوس کیتا گیا ۔ اک ہلبرٹ سپیس کسے ویکٹر سپیس دے وچار دا سروسدھاریکرن ہے جو نشچت ایاماں تکّ ہی سیمت نہیں ہے۔ اسطراں، ایہہ اک اندرونی گننپھل سپیس ہندی ہے، جسدا ارتھ ہے کہ اس وچّ دوری اتے اینگلاں دی دھارنا ہندی ہے- خاصکر کے اؤرتھوگنلٹی دی دھارنا ۔ ہور تاں ہور، ایہہ اک سمپورنتا دی شرط تے وی کھری اتردی ہے جو اچھا مطابق حداں دی ہوند یقینی بناؤندی ہے۔ بھاویں ایہہ تھیوری پوری طرحاں صحیح ہے، پھیر وی وون نیومن دی پہنچ ہور عامَ سپیساں تے وچار نہیں کردی- جویں ڈسٹریبیوشن سپیساں- جو، بھاویں تھیوری دی ویاکھیا وچّ سدھے طور تے سبندھت نہیں ہن، تاں وی اوہناں نوں اکھوں اہلے نہیں کیتا جا سکدا جیکر گنتک فارمولا بنتراں دے کٹھن بندوآں نوں سمجھنا ہووے ۔ کوانٹم مکینکس دی ایہہ وشال بنتر، جو ہلبرٹ سپیس نوں ڈسٹریبیوشن دی تھیوری نال ملاؤندی ہے، روسی گنت شاستری اسریل موسیوچ گلپھانڈ (جنم 1913) دوارا کجھ دیر بعد بنائی گئی ۔ اسنے پرسدھ رجڈّ ہلبرٹ سپیس ، جاں گلپھانڈ ٹرپلیٹّ پیش کیتی ۔

پریبھاشا

سمپورنتا دا ارتھ ہے کہ جیکر کوئی کن کسے ٹٹے ہوئے رستے دے نال نال سیمت دوری طے کردا ہے تاں اوہ اک چنگی طرحاں پربھاشت شدھ وستھاپن (سنتری رنگ والی ریکھا) والا ہندا ہے

رجڈّ ہلبرٹ سپیس اصل وچّ کی ہے؟ اک رجڈّ ہلبرٹ سپیس اک اجیہا سیٹ ہندی ہے ؛

٭ جس وچّ اک ریکھک (لینیئر) سپیس دی بیج گنتک (الجبرک) بنتر ہندی ہے ٭ اس وچّ اک نیوکلیئر ٹوپولوجی جس دے حساب نال سمپورنتا Φ’ دندی ہے۔ (ٹوپولوجی آنکڑیاں دے اکار جاں شکل وچّ نرنتر تبدیلی توں پربھاوت ہوئے بغیر ریکھاگنت وشیشتاواں اتے ستھانک سبندھاں دے ادھٔین نوں کیہا جاندا ہے) ٭ اس وچّ اک دوجی ٹوپولوجی کسے سکیلر گننپھل راہیں فٹّ ہندی ہے جسدے حساب نال ایہہ ریکھک (لینیئر) سپیس اک ہلبرٹ سپیس H رچن لئی پوری ہو جاندی ہے۔ ٭ اس وچّ اک تیجی ٹوپولوجی ہندی ہے، جسنوں Φ دی دوہری سپیس Φ’ کیہا جاندا ہے۔

ٹوپولوجی

تکونی اسمانتا

اتھے ٹوپولوجی دیاں کجھ مڈھلیاں دھارناواں نوں پربھاشت کیتا گیا ہے۔

منّ لؤ X کوئی سیٹ ہے اتے p(X) = {Y| Y⊂ X} اسدے سارے سب-سیٹ ہون ۔ p(X) دا اک سب-سیٹ T ہیٹھاں لکھیاں شرطاں پوریاں کرن تے ہی اسدی (X دی) اک ٹوپولوجی کیہا جاندا ہے؛

٭ خالی سیٹ O ⊂ T اتے X، دوویں T دے ایلیمینٹ ہون ۔ ٭ T دے منچاہے بہت سارے ایلیمینٹاں دی یونین وی T دا اک ایلیمینٹ ہووے ۔ ٭ T دے ایلیمینٹاں دی اک نشچت سنکھیا دا کوئی وی انٹرسیکشن (کاٹ) وی T دا اک ایلیمینٹ ہووے ۔

جیکر T ، X اتے اک ٹوپولوجی ہووے، تاں T دے نال اکٹھے لئے گئے X نوں (جسنوں جوڑے دے روپ وچّ (X، T) نال وی درسایا جاندا ہے)، اک ٹوپولوجیکل سپیس کیہا جاندا ہے۔ T وچلے کسے سیٹ نوں اک اوپن سیٹ کیہا جاندا ہے۔

باہری لنک

سانچہ:Wikibooks ٭ ٭ Hilbert space at Mathworld ٭ 245B، notes 5: Hilbert spaces by Terence Tao