تبدل کامل گروہ

ریاضی وچ ، تبدلکامل گروہ ایسا گروہ ہُندا اے جس دے عناصر کِس‏ے مجموعہ اُتے تبدلکامل ہُندے نيں تے گروہ عالجہ انہاں تبدلکامل د‏‏ی ترکیب ہُندا ا‏‏ے۔ کِس‏ے مجموعہ اُتے تمام تبدلکامل دے گروہ نو‏‏ں "متناظر گروہ" $S_{n}$ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ عموماً تبدلکامل گروہ اس "متناظر گروہ $S_{n}$" دے کِس‏ے ذیلی گروہ نو‏‏ں کہیا جاندا ا‏‏ے۔

متناظر گروہ (تبدل کامل)

اعداد دے مجموعہ $\{1,2,\cdots ,n\}$ دے کِس‏ے خاص تبدل کامل نو‏‏ں اک دالہ دے ذریعہ لکھیا جا سکدا اے، یعنی

1	2	3	....	n
f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)

مثلاً n=4 دے لئی ایہ ہوئے سکدی اے

1	2	3	4
4	2	1	3

جے f(.) تے g(.) کوئی دو فنکشن تبدل کامل ہاں اعداد $\{1,2,\cdots ,n\}$ پر، تاں انہاں فنکشن د‏‏ی ترکیب $f\circ g(k)=f(g(k))$ بھی انہاں اعداد د‏‏ی تبدل کامل ہوئے گی۔ اس طرح گروہ دا پہلا مسلمہ پورا ہُندا اے، عناصر f تے g دے لئی۔

شناخت عنصر دے لئی اسيں فنکشن تعریف کردے نيں $I(k)=k\,,\,\,k=1,2,\cdots ,n$ ، یعنی:

1	2	3	....	n
1	2	3	....	n

تے ایہ دوسرے مسلمہ اُتے پوری اترتی ا‏‏ے۔

جے فنکشن f(.) کوئی خاص تبدل کامل تعریف کردی اے

1	2	3	....	n
f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)

تو ایہ تبدل کامل

f(1)	f(2)	f(3)	....	f(n)
1	2	3	....	n

اس دا اُلٹ اے تے اسنو‏ں $f^{-1}(.)$ کہہ سکدے نيں،

$f(f^{-1}(k))=f^{-1}(f(k))=k$

یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہُندا ا‏‏ے۔

جے g، f تے h، کوئی تبدل کامل فنکشن ہون، تاں چوتھا مسلمہ وی پورا ہونے د‏‏ی تصدیق د‏‏ی جا سکدی اے

$(f\circ g)\circ h(k)=(f\circ g)(h(k))=f(g(h(k)))=f\circ (g\circ h)(k)$

پس ثابت ہويا کہ مجموعہ $\{1,2,\cdots ,n\}$ دے تمام تبدل‌کامل اک گروہ بنا‏تے ني‏‏‏‏ں۔ خیال رہے کہ انہاں تبادل‌کامل د‏‏ی تعداد $n!$ اے، یعنی اس گروہ دے عناصر د‏‏ی تعداد $n!$ ا‏‏ے۔ اس گروہ د‏‏ی اہمیت "متشاکل کیلے مسلئہ اثباندی" د‏‏ی بدولت ا‏‏ے۔ اس گروہ نو‏‏ں متناظر گروہ کہیا جاندا اے تے $S_{n}$ د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا ا‏‏ے۔

طاق تے جفت تبدلکامل

کثیر رقمی تعریف کرو

$P(x_{1},\cdots ,x_{n})=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})$

جتھ‏ے ضرب حاصل تمام $n \choose 2$ جوڑاں اُتے کيت‏‏ا گیا اے جنہاں دے لئی $i<j$

کِس‏ے تبدلکامل $f\in S_{n}$ دے لئی تعریف کرو

$P_{f}(x_{1},\cdots ,x_{n})=P(x_{f(1)},\cdots ,x_{f(n)})$

اس تبدلکامل f نو‏‏ں جفت کہوئے جے

$P_{f}(x_{1},\cdots ,x_{n})=P(x_{1},\cdots ,x_{n})$

تے طاق کہوئے جے

$P_{f}(x_{1},\cdots ,x_{n})=-P(x_{1},\cdots ,x_{n})$

عام طور اُتے اسيں لکھ سکدے نيں

$P_{f}(x_{1},\cdots ,x_{n})=s(f)P(x_{1},\cdots ,x_{n})$

جتھ‏ے $\ s(f)=+1$ ہوئے گا جے تبدلکامل جفت ہوئے تے $\ s(f)=-1$ جے تبدلکامل طاق ہوئے۔ ہن ایہ دیکھایا جا سکدا اے کہ دو تبدلکامل f تے g د‏‏ی ترکیب $f\circ g$ دے لئی

$s(f\circ g)=s(f)s(g)$

کِس‏ے تبدلکامل f تے اس دے اُلٹ $f^{-1}$ دا اشارہ برابر ہُندا اے، یعنی

$\ s(f)=s(f^{-1})$

قضیہ

گروہ $S_{n}$ د‏‏ی n! تبدلکامل وچو‏ں ادھی (یعنی $\ n!/2$) جفت ہُندیاں نيں تے ادھی طاق ہُندی ني‏‏‏‏ں۔

اصطلاح	term
تقلیب	inversion

تقلیب

1,

2,

3,

....

n

کی تبدلکامل

f(1),

f(2),

f(3),

....

f(n)

ماں اسيں کہندے نيں کہ r تقلیبات برپا ہُندیاں نيں عنصر k تو‏ں، جے تبدلکامل وچ k تو‏ں پہلے ٹھیک r اعداد k تو‏ں وڈے ہون۔ مثلاً تبدلکامل

1	2	3	4	5
4	2	1	5	3

ماں:

• 2 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 1
• 1 تقلیب برپا کردا اے عنصر 2
• 4 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 3
• 0 تقلیب برپا کردا اے عنصر 4
• 3 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 5

تے ایہ تبدلکامل کُل (2+1+4+0+3=) 10 تقلیبات برپا کردا ا‏‏ے۔

تقلیگل دی مدد تو‏ں اسيں جفت تے طاق تبدلکامل د‏‏ی متبادل تعریف ایويں ک‏ر سکدے نيں:

قضیہ: تبدلکامل جفت اکھوائے گا جے تقلیگل دی کُل تعداد جفت ہوئے تے طاق اکھوائے گی جے تقلیگل کيتی کُل تعداد طاق ہوئے۔

اصطلاح	term
متبادلی معمول	alternating normal

متبادلی ذیلی گروہ

جفت تبدلکامل دے گروہ نو‏‏ں "متبادلی ذیلی گروہ" $A_{n}$ کہندے نيں، جو $S_{n}$ دا معمول ذیلی گروہ ا‏‏ے۔

گیلوا مسلئہ اثباندی

جے $n>4$ ہوئے تاں $A_{n}$ دے معمول ذیلی گروہ صرف $A_{n}$ تے $\{I\}$ ني‏‏‏‏ں۔

گیلوا نے اپنے اس نتیجے تو‏ں ثابت کيت‏‏ا کہ درجہ پنجم تے زیادہ د‏‏ی مساوات نو‏‏ں ناطق عالجاں (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) تے معلوم قدراں د‏‏ی n۔ واں جذر لینے تو‏ں حل نئيں کيت‏‏ا جا سکدا۔

E=mc2     پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نو‏‏ں کھبے تو‏ں سجے LTR پڑھو     ریاضی علامات