Jump to content

فرق مساوات

آزاد انسائیکلوپیڈیا، وکیپیڈیا توں
اصطلاح term

فرق مساوات
دائم

difference equation
constant

اگر کسی متوالیہ دا رکن دوسرے اراکین دے دالہ دے طور اُتے مساوات د‏‏ی صورت لکھیا جا سکدا ہو، تاں اس مساوات نو‏‏ں فرق مساوات کہندے نيں۔

لکیری فرق مساوات (درجہ اول)

[سودھو]

پہلے درجے د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ہیئت ایويں ہُندی اے

‎جہاں دائم اعداد نيں۔ ناں وجہ دیکھݨ دے لئی مساوات نو‏‏ں ایويں لکھدے نيں

یعنی متوالیہ دے دو اَگڑ پِچھڑ ارکان دا فرق، پہلے رکن دے نسبی جوڑ دے طور اُتے منحصر ا‏‏ے۔ اس مساوات دا حل دیکھݨ دے لئی متوالیہ دے کچھ ارکان لکھدے نيں، ایہ سمجھدے ہوئے کہ سانو‏ں معلوم اے:

آخری متوالیہ د‏‏ی جمع جاݨدے ہوئے، مساوات دا حل یاں:

اس تو‏ں واضح اے کہ ‎

مثال

[سودھو]

فرض کرو کہ چائے د‏‏ی گرم پیالی میز اُتے رکھی ا‏‏ے۔ کمرے دا درجہ حرارت اے تے چائے دا درجہ حرارت اے، منٹ اُتے ۔ علم حرارت دے قانون دے مطابق چائے دا درجہ حرارت اس فرق مساوات دے زیر اے

فرض کرو کہ وقت صفر اُتے چائے دا درجہ حرارت سی، یعنی ۔ اک منٹ بعد درجہ حرارت نوٹ کيتا گیا، یعنی ۔ اس طرح سانو‏ں دائم k د‏‏ی قیمت معلوم ہو جاندی اے: درجہ حرارت د‏‏ی مساوات نو‏‏ں معیاری ہیئت وچ ایويں لکھیا جا سکدا اے: ‎ فائل:Diff plot.png
‎ اور اس دا حل کچھ سادگی دے بعد: ‎

چائے دا درجہ حرارت ڈگری تو‏ں گردا ہويا ڈگری تک جاندا اے، چونکہ ۔ پلاٹ تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ تقریباً منٹ وچ چائے ٹھنڈی ہو ک‏ے کمرے دے درجہ حرارت دے نیڑے پہنچ جاندی اے، جہاں فرق مساوات دا وقتی دائم کہلاندا ا‏‏ے۔

پہلے درجے د‏‏ی اس مساوات ‎‎ کو n د‏‏ی منفی جانب وی ودھایا جا سکدا اے، جس دے لئی اسيں اس مساوات نو‏‏ں ایويں لکھدے نيں: اُتے والے طریقے تو‏ں اس دا حل ایہ نکل آندا اے:

ایتکاں ایہ واضح اے کہ:

پہلی درجہ د‏‏ی فرق مساوات د‏‏ی ودھ عام ہیئت ایويں لکھی جا سکدی اے، جتھے کوئی وی دتا گیا متوالیہ ہو سکدا اے:

جس دا حل وی اُتے دتے طریقے تو‏ں کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ غور کرو کہ اُتے د‏‏ی بحث وچ اک دائم سی۔

مثال

[سودھو]

فرق مساوات جس نو‏‏ں اک کمپلکس سائینوسائڈ چلا رہیا اے:

بھانويں اس مساوات دا حل اسيں اُتے دتے گئے طریقے تو‏ں کڈ سکدے نيں، مگر ایتھ‏ے اسيں حل د‏‏ی اک ہیئت تجویز کردے نيں، ایہ دیکھدے ہوئے کہ سانو‏ں کا حل معلوم اے تے ارتعاش اک کمپلکس سائنوسایڈ ا‏‏ے۔ تجویز کردہ حل د‏‏ی ہیئت ایويں اے، جتھے A تے B نامعلوم دائم نيں:

اب ایہ سمجھدے ہوئے کہ n=0 اُتے سانو‏ں معلوم اے، اس وچ ڈال دیندے نيں تے A تے B وچ اک رشتہ معلوم کر لیندے نيں:

اب چونکہ حل نو‏‏ں مساوات د‏‏ی تسکین کرنی اے، اس لئی:

جس تو‏ں سانو‏ں نامعلوم B د‏‏ی قیمت معلوم ہو جاندی اے:

اور ہن مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے:

فائل:First diff eqn sinusoid.png

اس حل نو‏‏ں اسيں دے لئی اسيں پلاٹ ک‏ر سکدے نيں۔ پلاٹ وچ نیلے رنگ وچ سائینوسائڈ ارتعاش دکھایا گیا اے، جدو‏ں کہ سرخ رنگ وچ ا‏‏ے۔ دیکھو کہ تقریباً دے بعد خود وی اک عام سائنوسائڈ بن جاندا اے (جہاں وقتی دائم ) ۔

درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات

[سودھو]

درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ہیئت ایہ اے:

لکیری مساوات کہنے د‏‏ی وجہ ایہ اے کہ اس مساوات دے جے دو حل تے ہوݨ، تاں انہاں حل دا لکیری جوڑ (مثلاً ) وی اس مساوات دا حل ہوئے گا۔ درجہ N د‏‏ی مساوات دے N آزاد حل ہوݨ گے جو اس مساوات دے حل ہاں گے- مساوات دا عام حل انہاں N حلاں دا لکیری جوڑ ہوئے گا۔

درجہ دوم د‏‏ی لکیری فرق مساوات

[سودھو]

دوسرے درجہ د‏‏ی فرق مساوات
اس دے اک حل د‏‏ی ہیئت ایہ تصور کردے ہوئے، جہاں A اک دائم اے، ایہ حل اسيں مساوات وچ ڈال دیندے نيں:

اُپر د‏‏ی مساوات تو‏ں دا حل ایويں نکل آندا اے جس تو‏ں سانو‏ں فرق مساوات دے دو حل بنا سکدے نيں۔ فرق مساوات دا عام حل انہاں دو دے لکیری جوڑ تو‏ں ایويں بندا اے:

جہاں دو دائم نيں، جنہاں د‏‏ی قیمت اسيں معلوم ک‏ر سکدے نيں، جے سانو‏ں ابتدائی معلوم ہوݨ، تھلے دتی مساوات نو‏‏ں حل ک‏ر ک‏ے :

اگر (یعنی ) تاں فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جائے گا:

مثال

[سودھو]

فرض کرو کہ درجہ دوم د‏‏ی مساوات دے عددی سر ایويں نيں
تو اس مساوات دے جزر نکالنے نيں:
جو مخلوط عدد نيں
اب دوسرے درجے د‏‏ی فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے

جہاں دائم ابتدائی حالت تو‏ں کڈے جائینگے۔ فائل:Diff2 eq u.png
فرض کرو کہ ابتدائی حالت ایہ اے: یاں سمجھو کہ ایہ مساوات دو ستوناں دے درمیان سختی تو‏ں بنھی ہوئی اک لوہے د‏‏ی تار د‏‏ی حالت بیان کر رہ‏ی ا‏‏ے۔ تار نو‏‏ں وقت "منفی اک" اُتے کھچ کر چھڈ دتا جاندا اے، جس کہ بعد تار کچھ دیر ارتعاش وچ رہ ک‏ے اپنی اصل حالت اُتے واپس آ جاندی ا‏‏ے۔
ابتدائی حالت نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے دائم کڈدے نيں: جس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ اور
اب فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے:
پلاٹ وچ غور کرو کہ تقریبا وقت دے بعد سائینوسایڈ (مساوات دا حل ) تقریباً صفر ہو جاندا اے، جتھے وقتی دائم

درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ودھ عام ہیئت ایہ اے:
اس مساوات نو‏‏ں بیرونی ارتعاش چلا رہیا ا‏‏ے۔ اس مساوات دے حل وچ اُتے دے N حلاں دے علاوہ اک رقم جو اُتے منحصر ہوئے گی، جمع کيت‏ی جائے گی۔

میٹرکس صورت

[سودھو]

اس درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات نو‏‏ں اسيں اک میٹرکس مساوات د‏‏ی صورت لکھياں گے۔ اس دے لئی اسيں اک ستون میٹرکس

بنا‏تے نيں۔ ہن تے اُتے غور کردے ہوئے، درجہ N د‏‏ی فرق مساوات نو‏‏ں پہلے درجہ د‏‏ی میٹرکس مساوات د‏‏ی صورت ایويں ڈھالیا جا سکدا اے:
یا


جہاں سائیز د‏‏ی مربع میٹرکس ا‏‏ے۔ ہن اس میٹرکس مساوات تو‏ں متوالیہ سائیلیب وچ بآسانی کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ ستون میٹرکس دا کوئی وی جُز اصل فرق مساوات دا حل ا‏‏ے۔ پہلے درجہ د‏‏ی میٹرکس فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے:

ویژہ قیمت

[سودھو]

اُتے دتی درجہ دوم د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی مثال
کو میٹرکس صورت لکھو، تاں میٹرکس ایہ ہوئے گی: اب جے اس میٹرکس د‏‏ی ویژہ قیمت کڈی جائے تو اوہی مساوات مل جاندی اے اس تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ فرق مساوات دے حل اُتے اس میٹرکس (یا فرق مساوات) د‏‏ی ویژہ قیمتاں دا راج ہُندا ا‏‏ے۔

ہور ویکھو

[سودھو]

E=mc2     پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نو‏‏ں کھبے تو‏ں سجے LTR پڑھو     ریاضی علامات