فرق مساوات

اصطلاح	term
فرق مساوات دائم	difference equation constant

اگر کسی متوالیہ $\ \{y_{n}\}$ دا رکن $\ y_{n}$ دوسرے اراکین دے دالہ دے طور اُتے مساوات د‏‏ی صورت لکھیا جا سکدا ہو، تاں اس مساوات نو‏‏ں فرق مساوات کہندے نيں۔

لکیری فرق مساوات (درجہ اول)

پہلے درجے د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ہیئت ایويں ہُندی اے

‎$\ y_{n}=\alpha y_{n-1}+b$

‎جہاں $\ \alpha ,b$ دائم اعداد نيں۔ ناں وجہ دیکھݨ دے لئی مساوات نو‏‏ں ایويں لکھدے نيں

‎$y_{n}-y_{n-1}=\beta y_{n-1}+b\,\,,\,\,\,\,\,\beta =(\alpha -1)$‎

یعنی متوالیہ دے دو اَگڑ پِچھڑ ارکان دا فرق، پہلے رکن دے نسبی جوڑ دے طور اُتے منحصر ا‏‏ے۔ اس مساوات دا حل دیکھݨ دے لئی متوالیہ دے کچھ ارکان لکھدے نيں، ایہ سمجھدے ہوئے کہ $\ y_{0}$ سانو‏ں معلوم اے:

‎${\begin{matrix}y_{1}=\alpha y_{0}+b\\y_{2}=\alpha y_{1}+b=\alpha (\alpha y_{0}+b)+b=\alpha ^{2}y_{0}+\alpha b+b\\y_{3}=\alpha y_{2}+b=\alpha (\alpha ^{2}y_{0}+\alpha b+b)+b=\alpha ^{3}y_{0}+\alpha ^{2}b+\alpha b+b\\\cdots \\y_{n}=\alpha ^{n}y_{0}+(1+\alpha +\cdots +\alpha ^{n-1})b\end{matrix}}$‎

آخری متوالیہ د‏‏ی جمع جاݨدے ہوئے، مساوات دا حل یاں:

$y_{n}=\alpha ^{n}y_{0}+{\frac {(1-\alpha ^{n})}{1-\alpha }}b\,\,\,,\,\alpha \neq 0\,,\,\,\,n=0,1,2,3,\cdots$

اس تو‏ں واضح اے کہ ‎$\lim _{n\to \infty }y_{n}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {b}{1-\alpha }}\,,&|\alpha |<1\\\infty \,,&|\alpha |\geq 1\end{matrix}}\right.$

‎

مثال

فرض کرو کہ چائے د‏‏ی گرم پیالی میز اُتے رکھی ا‏‏ے۔ کمرے دا درجہ حرارت $\ R=20^{\circ }C$ اے تے چائے دا درجہ حرارت $\ y_{n}$ اے، منٹ $\ n$ اُتے ۔ علم حرارت دے قانون دے مطابق چائے دا درجہ حرارت اس فرق مساوات دے زیر اے

‎$\ y_{n}-y_{n-1}=k(y_{n-1}-R)$‎

فرض کرو کہ وقت صفر اُتے چائے دا درجہ حرارت $\ 80^{\circ }C$ سی، یعنی $\ y_{0}=80$۔ اک منٹ بعد درجہ حرارت $\ 70^{\circ }C$ نوٹ کيتا گیا، یعنی $\ y_{1}=70$ ۔ اس طرح سانو‏ں دائم k د‏‏ی قیمت معلوم ہو جاندی اے: $\ 70-80=k(80-20)\,\Rightarrow \,k=-1/6$ درجہ حرارت د‏‏ی مساوات نو‏‏ں معیاری ہیئت وچ ایويں لکھیا جا سکدا اے: ‎$y_{n}=(1+k)y_{n-1}-kR$ فائل:Diff plot.png
‎ اور اس دا حل کچھ سادگی دے بعد: ‎$y_{n}=60(\alpha )^{n}+20\,\,\,,\,\alpha ={\frac {5}{6}}\,\,,\,n=0,1,2,3,\cdots$‎

چائے دا درجہ حرارت $\ y_{0}=80$ ڈگری تو‏ں گردا ہويا $\ y_{\infty }=20$ ڈگری تک جاندا اے، چونکہ $\ \lim _{n\to \infty }(5/6)^{n}=0$۔ پلاٹ تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ تقریباً $4\tau =24$ منٹ وچ چائے ٹھنڈی ہو ک‏ے کمرے دے درجہ حرارت دے نیڑے پہنچ جاندی اے، جہاں $\ \tau ={\frac {1}{|1-|\alpha ||}}$ فرق مساوات دا وقتی دائم کہلاندا ا‏‏ے۔

پہلے درجے د‏‏ی اس مساوات ‎$\ y_{n}=\alpha y_{n-1}+b$‎ کو n د‏‏ی منفی جانب وی ودھایا جا سکدا اے، جس دے لئی اسيں اس مساوات نو‏‏ں ایويں لکھدے نيں: $\ y_{n-1}=\alpha ^{-1}b-\alpha ^{-1}y_{n}$ اُتے والے طریقے تو‏ں اس دا حل ایہ نکل آندا اے: $\ y_{-n}=-\alpha ^{-n}y_{0}+\alpha ^{-1}b{\frac {1-\alpha ^{-n}}{1-\alpha ^{-1}}}\,,\,\alpha \neq 0\,,\,\,n=1,2,\cdots$

ایتکاں ایہ واضح اے کہ: $\lim _{n\to \infty }y_{-n}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\alpha ^{-1}b}{1-\alpha ^{-1}}}\,,&|\alpha |>1\\\infty \,,&|\alpha |\leq 1\end{matrix}}\right.$

پہلی درجہ د‏‏ی فرق مساوات د‏‏ی ودھ عام ہیئت ایويں لکھی جا سکدی اے، جتھے $\ \{u_{n}\}$ کوئی وی دتا گیا متوالیہ ہو سکدا اے:

$y_{n}=\alpha y_{n-1}+u_{n}$

جس دا حل وی اُتے دتے طریقے تو‏ں کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ غور کرو کہ اُتے د‏‏ی بحث وچ $\ u_{n}=b$ اک دائم سی۔

مثال

فرق مساوات جس نو‏‏ں اک کمپلکس سائینوسائڈ چلا رہیا اے:

$y_{n}=\alpha y_{n-1}+\exp(\iota 2\pi \nu n)$

بھانويں اس مساوات دا حل اسيں اُتے دتے گئے طریقے تو‏ں کڈ سکدے نيں، مگر ایتھ‏ے اسيں حل د‏‏ی اک ہیئت تجویز کردے نيں، ایہ دیکھدے ہوئے کہ سانو‏ں $y_{n}=\alpha y_{n-1}+b$ کا حل معلوم اے تے ارتعاش اک کمپلکس سائنوسایڈ ا‏‏ے۔ تجویز کردہ حل د‏‏ی ہیئت ایويں اے، جتھے A تے B نامعلوم دائم نيں:

$y_{n}=A\alpha ^{n}+B\exp(\iota 2\pi \nu n)$

اب ایہ سمجھدے ہوئے کہ n=0 اُتے سانو‏ں $y_{0}$ معلوم اے، اس وچ ڈال دیندے نيں تے A تے B وچ اک رشتہ معلوم کر لیندے نيں: $y_{0}=A\alpha ^{0}+B\exp(\iota 2\pi \nu 0)\Rightarrow y_{0}=A+B$

اب چونکہ حل نو‏‏ں مساوات د‏‏ی تسکین کرنی اے، اس لئی:

$(y_{0}-B)\alpha ^{n}+B\exp(\iota 2\pi \nu n)=\alpha \left((y_{0}-B)\alpha ^{n-1}+B\exp(\iota 2\pi \nu (n-1))\right)+\exp(\iota 2\pi \nu n)$ جس تو‏ں سانو‏ں نامعلوم B د‏‏ی قیمت معلوم ہو جاندی اے:

$\Rightarrow B={\frac {1}{1-\alpha \exp(-\iota 2\pi \nu )}}$ اور ہن مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے: $y_{n}=\alpha ^{n}y_{0}-{\frac {1}{1-\alpha \exp(-\iota 2\pi \nu )}}\alpha ^{n}+{\frac {1}{1-\alpha \exp(-\iota 2\pi \nu )}}\exp(\iota 2\pi \nu n)$

فائل:First diff eqn sinusoid.png

اس حل نو‏‏ں اسيں $\alpha =0.9\,,\,\nu =0.04\,,\,y_{0}=0$ دے لئی اسيں پلاٹ ک‏ر سکدے نيں۔ پلاٹ وچ نیلے رنگ وچ سائینوسائڈ ارتعاش دکھایا گیا اے، جدو‏ں کہ$\Re (y_{n})$ سرخ رنگ وچ ا‏‏ے۔ دیکھو کہ تقریباً $\ 4\tau =40$ دے بعد $\ y_{n}$ خود وی اک عام سائنوسائڈ بن جاندا اے (جہاں وقتی دائم $\ \tau ={\frac {1}{|1-|\alpha ||}}$) ۔

درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات

درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ہیئت ایہ اے:
$\alpha _{0}y_{n}+\alpha _{1}y_{n-1}+\alpha _{2}y_{n-2}+\cdots +\alpha _{N}y_{n-N}=0$

لکیری مساوات کہنے د‏‏ی وجہ ایہ اے کہ اس مساوات دے جے دو حل $\{y_{n}^{(1)}\}$ تے $\{y_{n}^{(2)}\}$ ہوݨ، تاں انہاں حل دا لکیری جوڑ (مثلاً $\{y_{n}^{(1)}+y_{n}^{(2)}\}$ ) وی اس مساوات دا حل ہوئے گا۔ درجہ N د‏‏ی مساوات دے N آزاد حل ہوݨ گے جو اس مساوات دے حل ہاں گے- مساوات دا عام حل انہاں N حلاں دا لکیری جوڑ ہوئے گا۔

درجہ دوم د‏‏ی لکیری فرق مساوات

دوسرے درجہ د‏‏ی فرق مساوات $\alpha _{0}y_{n}+\alpha _{1}y_{n-1}+\alpha _{2}y_{n-2}=0$
اس دے اک حل د‏‏ی ہیئت ایہ تصور کردے ہوئے، $y_{n}^{(1)}=A\lambda ^{n}$ جہاں A اک دائم اے، ایہ حل اسيں مساوات وچ ڈال دیندے نيں: ${\begin{matrix}\alpha _{0}A\lambda ^{n}+\alpha _{1}A\lambda ^{n-1}+\alpha _{2}A\lambda ^{n-2}=&0\\A\lambda ^{n-2}\left(\alpha _{0}\lambda ^{2}+\alpha _{1}\lambda ^{1}+\alpha _{2}\right)=&0\\\alpha _{0}\lambda ^{2}+\alpha _{1}\lambda ^{1}+\alpha _{2}=&0\end{matrix}}$

اُپر د‏‏ی مساوات تو‏ں $\ \lambda$ دا حل ایويں نکل آندا اے $\lambda _{0},\lambda _{1}={\frac {-\alpha _{1}\pm {\sqrt {\alpha _{1}^{2}-4\alpha _{0}\alpha _{2}}}}{2\alpha _{0}}}$ جس تو‏ں سانو‏ں فرق مساوات دے دو حل بنا سکدے نيں۔ فرق مساوات دا عام حل انہاں دو دے لکیری جوڑ تو‏ں ایويں بندا اے:
$y_{n}=A_{0}\lambda _{0}^{n}+A_{1}\lambda _{1}^{n}$
جہاں $A_{0},A_{1}$ دو دائم نيں، جنہاں د‏‏ی قیمت اسيں معلوم ک‏ر سکدے نيں، جے سانو‏ں ابتدائی $y_{0},y_{1}$ معلوم ہوݨ، تھلے دتی مساوات نو‏‏ں حل ک‏ر ک‏ے :

${\begin{matrix}y_{0}=A_{0}\lambda _{0}^{0}+A_{1}\lambda _{1}^{0}\\y_{1}=A_{0}\lambda _{0}^{1}+A_{1}\lambda _{1}^{1}\end{matrix}}$

اگر $\lambda _{0}=\lambda _{1}$ (یعنی $\alpha _{1}^{2}-4\alpha _{0}\alpha _{2}=0$) تاں فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جائے گا:

$y_{n}=A_{0}\lambda _{0}^{n}+A_{1}n\lambda _{0}^{n}$

مثال

فرض کرو کہ درجہ دوم د‏‏ی مساوات دے عددی سر ایويں نيں $\alpha _{0}=1,\alpha _{1}=-1.96,\alpha _{2}=0.98$
تو اس مساوات دے جزر نکالنے نيں: $\ \alpha _{0}\lambda ^{2}+\alpha _{1}\lambda ^{1}+\alpha _{2}=0$
جو مخلوط عدد نيں $\ \lambda ,{\bar {\lambda }}=0.98\pm \iota 0.14=0.99\exp(\pm \iota 0.142)$
اب دوسرے درجے د‏‏ی فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے
$\ y_{n}=A_{0}\lambda ^{n}+A_{1}{\bar {\lambda }}^{n}$
جہاں دائم $\ A_{1},A_{0}$ ابتدائی حالت تو‏ں کڈے جائینگے۔ فائل:Diff2 eq u.png
فرض کرو کہ ابتدائی حالت ایہ اے: $\ y_{0}=0,y_{-1}=-1$ یاں سمجھو کہ ایہ مساوات دو ستوناں دے درمیان سختی تو‏ں بنھی ہوئی اک لوہے د‏‏ی تار د‏‏ی حالت بیان کر رہ‏ی ا‏‏ے۔ تار نو‏‏ں وقت "منفی اک" اُتے کھچ کر چھڈ دتا جاندا اے، جس کہ بعد تار کچھ دیر ارتعاش وچ رہ ک‏ے اپنی اصل حالت اُتے واپس آ جاندی ا‏‏ے۔
ابتدائی حالت نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے دائم کڈدے نيں: $\ y_{0}=0=A_{0}\lambda ^{0}+A_{1}{\bar {\lambda }}^{0}$ جس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ $\ A_{1}=-A_{0}$ اور ${\begin{matrix}y_{-1}=-1=A_{0}\lambda ^{-1}-A_{0}{\bar {\lambda }}^{-1}\\\longrightarrow A_{0}={\frac {\lambda {\bar {\lambda }}}{\lambda -{\bar {\lambda }}}}={\frac {7}{\iota 2}}\end{matrix}}$
اب فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے: ${\begin{matrix}y_{n}={\frac {7}{2\iota }}(0.99)^{n}\left(\exp(\iota 0.142n)-\exp(-\iota 0.142n)\right)\\y_{n}=7(0.99)^{n}\sin(0.142n)\end{matrix}}$
پلاٹ وچ غور کرو کہ تقریبا $4\tau =400$ وقت دے بعد سائینوسایڈ (مساوات دا حل ) تقریباً صفر ہو جاندا اے، جتھے وقتی دائم $\ \tau ={\frac {1}{|1-|\lambda ||}}$

درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ودھ عام ہیئت ایہ اے: $\alpha _{0}y_{n}+\alpha _{1}y_{n-1}+\alpha _{2}y_{n-2}+\cdots +\alpha _{N}y_{n-N}=u_{n}$
اس مساوات نو‏‏ں بیرونی ارتعاش $\ u_{n}$ چلا رہیا ا‏‏ے۔ اس مساوات دے حل وچ اُتے دے N حلاں دے علاوہ اک رقم جو $\ u_{n}$ اُتے منحصر ہوئے گی، جمع کيت‏ی جائے گی۔

میٹرکس صورت

اس درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات نو‏‏ں اسيں اک میٹرکس مساوات د‏‏ی صورت لکھياں گے۔ اس دے لئی اسيں اک ستون میٹرکس $Y_{n}={\begin{bmatrix}y_{n-N+1}\\\vdots \\y_{n-1}\\y_{n}\end{bmatrix}}$

بنا‏تے نيں۔ ہن $\ Y_{n}$ تے $\ Y_{n-1}$ اُتے غور کردے ہوئے، درجہ N د‏‏ی فرق مساوات نو‏‏ں پہلے درجہ د‏‏ی میٹرکس مساوات د‏‏ی صورت ایويں ڈھالیا جا سکدا اے: ${\begin{bmatrix}y_{n-N+1}\\\vdots \\\vdots \\y_{n-1}\\y_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\\vdots &0&1&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&&&1\\{\frac {-\alpha _{N}}{\alpha _{0}}}&{\frac {-\alpha _{N-1}}{\alpha _{0}}}&\cdots &\cdots &{\frac {-\alpha _{1}}{\alpha _{0}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{n-N}\\y_{n-N+1}\\\vdots \\\vdots \\y_{n-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\u_{n}\end{bmatrix}}$
یا

$\ Y_{n}=AY_{n-1}+U_{n}$

جہاں $\ A$ سائیز $\ N\times N$ د‏‏ی مربع میٹرکس ا‏‏ے۔ ہن اس میٹرکس مساوات تو‏ں $\ Y_{n}$ متوالیہ سائیلیب وچ بآسانی کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ ستون میٹرکس $\ Y_{n}$ دا کوئی وی جُز اصل فرق مساوات دا حل ا‏‏ے۔ پہلے درجہ د‏‏ی میٹرکس فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے: $\ Y_{n}=A^{n}Y_{0}+\sum _{k=0}^{n-1}A^{k}U_{k}\,\,,\,n=0,1,2,\cdots$

ویژہ قیمت

اُتے دتی درجہ دوم د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی مثال $\alpha _{0}y_{n}+\alpha _{1}y_{n-1}+\alpha _{2}y_{n-2}=0$
کو میٹرکس صورت لکھو، تاں میٹرکس ایہ ہوئے گی: $A=\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{0}}}&-{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{0}}}\end{matrix}}\right]$ اب جے اس میٹرکس د‏‏ی ویژہ قیمت کڈی جائے $\det(A-\lambda I)=0$ تو اوہی مساوات مل جاندی اے $\alpha _{0}\lambda ^{2}+\alpha _{1}\lambda ^{1}+\alpha _{2}=0$ اس تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ فرق مساوات دے حل اُتے اس میٹرکس (یا فرق مساوات) د‏‏ی ویژہ قیمتاں دا راج ہُندا ا‏‏ے۔

ہور ویکھو

• رجعت نسبت
• سائیلیب
• Maxima software batch(solve_rec)

E=mc2     پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نو‏‏ں کھبے تو‏ں سجے LTR پڑھو     ریاضی علامات