لینیئر میپ

لینیئر میپ اوہ ہومومورفزم ہندا اے جو ویکٹر سپیس بنتر نوں سرکھات کردا اے، جس نوں 'ابیلیئن گروپ' بنتر اتے سکیلر معکب کہندے ہن۔ سکیلر قسم ہور اگے ہومومورفزم خاص طور تے درساؤندی ہون لئی درسائی جانی چاہیدی اے، جویں، ہریک R-لینیئر میپ اک Z-لینیئر میپ ہندا اے، پر ہریک Z-لینیئر میپ R-لینیئر میپ نہیں ہندا۔

تشریح اتے پہلے نتیجے

منّ لؤ V اتے W اکو فیلڈ K اتے ویکٹر سپساں ہون۔ اک فنکشن f: V → W اک لینیئر میپ کیہا جاویگا جیکر V وچلے کسے دو ویکٹراں x اتے y لئی، اتے K وچلے کسے سکیلر α لئی، ہیٹھاں لکھیاں دو شرطاں دی پالنا ہووے:

$f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )\!$	جوڑ خاصیت (ایڈٹیوٹی)
$f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha f(\mathbf {x} )\!$	1 ڈگری دی ہوموجینیئٹی (اکسارتا)

ایہہ ویکٹراں دے کسے لینیئر (ریکھک) میل لئی اسے چیز دی منگ کرن دے برابر اے، یانِ کہ، کسے وی ویکٹراں x₁، …، x_m ∈ V لئی اتے سکیلراں a₁، …، a_m ∈ K لئی، ہیٹھاں لکھیاں سمانتاواں لاگوُ رہندیاں ہن:

$f(a_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{m}\mathbf {x} _{m})=a_{1}f(\mathbf {x} _{1})+\cdots +a_{m}f(\mathbf {x} _{m}).\!$

ویکٹر سپیساں V اتوے W دے زیرو ایلیمینٹاں نوں ترتیب وار 0_V اتے 0_W نال لکھدے ہوئے، ایہہ پتہ چلدا اے کہ f(0_V) = 0_W اے کیونکہ α = 0 ہون دین تے ہوموجینیئٹی (اکسارتا) دی 1 ڈگری لئی مساوات ایہہ بن جاندی اے؛

$f(\mathbf {0} _{V})=f(0\cdot \mathbf {0} _{V})=0\cdot f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.$

کجھ موقعیاں اتے، V اتے W نوں وکھریاں فیلڈاں اتے ویکٹر سپیساں وی منیا جا سکدا اے۔ پھیر ایہہ درساؤنا لازمی ہو جاندا اے کہ ایہناں گراؤنڈ پھیلڈاں وچوں کس نوں ‘لینیئر’ دی تشریح وچ ورتیا جا رہا اے۔ جیکر V اتے W نوں اپر دسے مطابق فیلڈ K اتے سپیساں دے طور تے لیا جاندا اے، تاں اسیں K-لینیئر میپاں بارے گل کر رہے ہندے ہاں۔ اداہرن دے طور تے، کمپلیکس نمبراں دے کنجوگیٹ اک R-لینیئر میپ C → C ہندے ہن، پر ایہہ C-لینیئر میپ نہیں ہندے۔

V توں K تک دے اک لینیئر میپ (اس دے اپنے اتے اک ویکٹر سپیس دے طور تے دیکھے جان والے K نال) نوں اک لینیئر فنکشنل کیہا جاندا اے۔

بناوٹ

ایہہ سٹیٹمینٹاں (کتھن) کسے وی کھبے-ماپانک _RM تک کسے رنگ R اتے بغیر سدھار توں سرو عام بنائے جا سکدے ہن، اتے کسے سجے-ماپانک تک سکیلر معکب نوں الٹاؤن نال سرو عام بنائے جا سکدے ہن۔