ویکٹر سپیس

اصطلاح	term
سمتیہ مکان لکیری مکان	Vector Space Linear Space

ایداں دے عناصر دا مجموعہ جتھ‏ے جمع/تفریق دے عمل ممکن ہون تے عناصر نو‏‏ں چھوٹا وڈا کيتا جا سکدا ہو، سمتیہ مکان کہلاندا ا‏‏ے۔ ہن اسيں مکمل تعریف دیندے نيں۔ جے کسی مجموعہ V دے عناصر X، Y، Z، وغیرہ مندرجہ ذیل قواعد اُتے پورے اتراں، تاں ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں سمتیہ مکان کدرے گے تے عناصر نو‏‏ں سمتیہ:

قواعد

• جمع

1. X+Y   مجموعہ V دا عنصر ہو
2. X+Y = Y+X   (مبدلی)
3. (X+Y) + Z = X + (Y+Z)   (مشارکی)
4. X+0=X   ( صفر شناخت عنصر (0) د‏‏ی موجودگی)
5. X+(-X)=0   (جمعیاندی اُلٹ، تفریق ممکن)

اعداد a، b، وغیرہ دے لئی

• اعداد تو‏ں ضرب

1. aX   مجموعہ V دا عنصر ہو
2. (ab)X=a(bX)   (مشارکی)
3. (a+b)X=aX+bX   (توزیعی )
4. a(X+Y)=aX+aY   (توزیعی)
5. 1 X=X   ضربی شناخت عنصر (1) د‏‏ی موجودگی

انگریزی وچ سمتیہ نو‏‏ں vector تے سمتیہ مکان نو‏‏ں vector spaceکہندے نيں۔

مثال $\mathbb {R} ^{2}$

فائل:Simtia vetor single.png اک مُسْتَوی (Plane)ماں کسی وی نکتہ نو‏‏ں دو پیمائشاں دے ذریعہ ڈھونڈا جا سکدا اے، اک ابتدا (origin) مقرر ک‏ر ک‏ے، افقی پیمائیش نو‏‏ں عموماً x لکھیا جاندا اے تے عمودی پیمائیش نو‏‏ں y۔ اس طرح اس نکتہ نو‏‏ں عموماً (x, y) لکھیا جاندا ا‏‏ے۔ انہاں دو اعداد (جو میدان $\mathbb {R}$ وچ نيں) نو‏‏ں اک $\ 2\times 1$ میٹرکس دے بطور یاں $\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]$ لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ یعنی پلین دے کسی وی نکتہ نو‏‏ں بطور سمتیہ یاں $\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]$ لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ ہن چونکہ ایہ سمتیہ اک میٹرکس نيں، اس لئی میٹرکس حساب دے قائدے استعمال کردے ہوئے سمتیہ مکان د‏‏ی تمام لوازمات پوری ہُندیاں نيں۔ اس لئی $\mathbb {R} ^{2}$ دے نکتے اک سمتیہ مکان بنا‏تے نيں۔ $\mathbb {R} ^{2}$ وچ سمتیہ د‏‏ی قطبی صورت دے لئی دیکھو۔ سمتیہ $U=\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]$ کو قطبی صورت وچ مطلق قیمت $r={(U^{t}U)}^{1/2}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ اور زاویہ $\theta =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}$ سے دتا جاندا اے تے سمتیہ نو‏‏ں تصویری صورت وچ ابتدا $(0,0)$ تو‏ں نکتہ $(x,y)$ تک اک تیر دے نشان تو‏ں دکھایا جاندا اے، جس د‏‏ی لمبائی r تے سجے افقی دھُرا (x-axis) تو‏ں زاویہ $\theta$ ہُندا ا‏‏ے۔ غور کرو کہ قطبی صورت وچ وی نکتہ نو‏‏ں دو اعداد تو‏ں لکھیا جاندا اے (مطلق قیمت تے زاویہ) مگر انہاں دو مقداراں نو‏‏ں بطور میٹرکس نئيں لکھیا جا سکدا (یعنی میٹرکس حساب دے قاعدے لاگو نئيں کیتے جا سکدے)۔

شکل 2 وچ نکتہ (x=a, y=b) نو‏‏ں سمتیہ U تو‏ں دکھایا اے، جتھ‏ے ابتدا (x=0, y=0) اُتے ا‏‏ے۔ ايس‏ے طرح شکل 2 دے نکات نو‏‏ں سمتیہ دے روپ وچ (بطور میٹرکس) ایويں لکھدے نيں: $U=\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}}\right]\,,\,V=\left[{\begin{matrix}c\\d\end{matrix}}\right]\,,\,W=\left[{\begin{matrix}e\\f\end{matrix}}\right]$

شکل 2	شکل 3
فائل:Simtia vector add.png	فائل:Simtia translated.png

اب سمتیہ U تو‏ں سمتیہ V د‏‏ی طرف ہٹاؤ سمتیہ R تو‏ں دکھایا گیا ا‏‏ے۔ اسنو‏ں میٹرکس ریاضی دے قواعد دے مطابق ایويں لکھیا جا سکدا اے $R=V-U=\left[{\begin{matrix}c\\d\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}c-a\\d-b\end{matrix}}\right]$ غور کرو کہ سمتیہ R د‏‏ی سمت نکتہ (x=a, y=b) تو‏ں نکتہ (x=c, y=d) سیدھی لکیر د‏‏ی طرف اے تے سمتیہ د‏‏ی لمبائی (مطلق قیمت) انہاں نکات دے درمیان وچ سیدھی لکیر وچ فاصلہ ا‏‏ے۔ اس لئی اس سمتیہ نو‏‏ں انہاں نکات دے درمیان وچ ہٹاؤ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ ایہ وی دیکھو کہ سمتیہ R چونکہ دو نکتاں دے درمیاں اے، اس لئی جے ابتدا نو‏‏ں کسی تے نکتہ اُتے لے جایا جائے، تاں اس دا اس سمتیہ R اُتے کوئی اثر نئيں پئے گا۔ اس لئی اکثر کہیا جاندا اے کہ سمتیہ ایسی شے اے جو اک مطلق قیمت (magnitude) تے مکان وچ اک رُخ (direction) تو‏ں تعریف ہوئے جاندا ا‏‏ے۔ اسی طرح نکتہ (x=c, y=d) تو‏ں نکتہ (x=e, y=f) دے درمیان وچ ہٹاؤ سمتیہ G اے، جو سمتیہ V نو‏‏ں سمتیہ W وچو‏ں تفریق ک‏ر ک‏ے حاصل ہُندا ا‏‏ے۔ $G=W-V=\left[{\begin{matrix}e\\f\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}c\\d\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}e-c\\f-d\end{matrix}}\right]$ فرض کرو کہ اسيں نکتہ (x=a, y=b) تو‏ں نکتہ (x=c, y=d) ہٹتے نيں (سمتیہ R ) تے فیر نکتہ (x=e, y=f) د‏‏ی طرف ہٹ جاندے نيں (سمتیہ G )۔ ہن ساڈا کُل ہٹاؤ سمتیہ B اے جو سمتیہ R تے سمیتہ G د‏‏ی جمع ا‏‏ے۔ $B=R+G=\left[{\begin{matrix}c-a\\d-b\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}e-c\\f-d\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}e-a\\f-b\end{matrix}}\right]=W-U$ غور کرو کہ سمتیہ B صرف اپنے شروع تے آخر دے نکات تو‏ں نکل آندا اے (سفر د‏‏ی ابتدا تے آخری منزل تے درمیانی منزل تو‏ں آزاد اے )۔

اب چونکہ سمتیہ اپنی مطلق قیمت تے رُخ تو‏ں تعریف ہوئے جاندا اے، اس لئی کسی سمتیہ نو‏‏ں اس دے متوازی گھسیٹا جا سکدا ا‏‏ے۔ شکل 3 وچ اساں سمتیہ R، B، W، نو‏‏ں گھسیٹ کر انہاں د‏‏ی دُم ابتدا اُتے رکھ د‏تی نيں۔

سمتیہ تفریق: جیومیٹری

اب جیومیٹری دے نقطہ نظر تو‏ں سمتیہ تفریق اُتے نظر ڈالدے نيں۔ سمتیہ B وچو‏ں R نو‏‏ں تفریق ک‏ر ک‏ے سمتیہ G ملدا اے، G=B-R۔ اس دا طریقہ ایويں ہويا کہ B تے R د‏‏ی دُماں ملیا دو تے R دے سر تو‏ں B دے سر تک سمتیہ فرق G ا‏‏ے۔

سمتیہ جمع: جیومیٹری

اسی طرح جیومیٹری دے نقطہ نگاہ تو‏ں سمتیہ جمع اُتے نظر ڈالدے نيں۔ سمتیہ R تے G نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے سمتیہ B ملدا اے، B=R+G۔ اس دا طریقہ ایويں ہويا کہ سمتیہ G د‏‏ی دُم سمتیہ R دے سر دے نال جوڑو تے فیر R د‏‏ی دُم تو‏ں G دے سر تک سمتیہ جمع B ا‏‏ے۔

مثال $\mathbb {R} ^{n}$

بعینہ $\mathbb {R} ^{n}$ مکان وچ نکتاں نو‏‏ں بطور $\ n\times 1$ میٹرکس لکھیا جا سکدا اے تے ایہ نکتے اک سمتیہ مکان بنا‏تے نيں۔ (یاد رہے کہ بعض اوقات نکات نو‏‏ں بجائے $\ n\times 1$ میٹرکس دے اک $\ 1\times n$ میٹرکس دے بطور وی لکھیا جاندا ا‏‏ے۔) اک سمتیہ نو‏‏ں ایويں لکھیا جائے گا: $X=\left[{\begin{matrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{matrix}}\right]\,\,,\,x_{k}\in \mathbb {R}$

مثال دے طور اُتے تن رُخی مستطیل مکان وچ کِسے جسم دا مقام تن پیمائیشاں z، y ،x، تو‏ں دتا جا سکدا اے تے اس طرح اس جسم د‏‏ی سمتار وی تن اعداد تو‏ں دتی جا سکدی ا‏‏ے۔ اس طرح وقت k اُتے جسم دے مقام تے سمتار اُتے مبنی 6رُخی سمتیہ ایويں لکھیا جا سکدا اے: $X_{k}=\left[{\begin{matrix}x\\y\\z\\v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{matrix}}\right]$

مدیدی سمتیہ

تفصیلی مضمون : مدیدی سمتیہ

ایداں دے سمتیہ دا مجموعہ، جنہاں دے خطی اجتماع تو‏ں مکان دا کوئی وی سمتیہ بن جاندا ہو، اس مکان دے لئی مدیدی سمتیہ (spanning vectors) دا مجموعہ کہلاندا ا‏‏ے۔

شکل 4

فائل:Simtia basis r2.png

شکل 4 وچ $\mathbb {R} ^{2}$ دا مستوی دکھایا گیا ا‏‏ے۔ سرخ دھُرا اُتے واقعہ سمتیہ $e_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]$ اور $e_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]$ (شکل 4 وچ سرخ نکتے) $\mathbb {R} ^{2}$ دے قدرتی بنیاد سمتیہ کہلاندے نيں، کیونجے $\mathbb {R} ^{2}$ مکان دا کوئی وی نکتہ انہاں دو سمتیاں دے لکیری تولیف دے طور اُتے لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ مثلاً نکتہ(x,y) ایويں لکھ سکدے نيں: $\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]=xe_{0}+ye_{1}$

غور کرو کہ سرخ دھُرا د‏‏ی بجائے اسيں سبز دھُرا وی استعمال ک‏ر سکدے نيں۔ اس دے لئی شکل 4 وچ سبز نکتاں تو‏ں دو سمتیہ دکھائے گئے نيں، جو (سرخ دھُرا دے حوالے تو‏ں ) ایويں نيں: $v_{0}=\left[{\begin{matrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{matrix}}\right]$ اور $v_{1}=\left[{\begin{matrix}-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{matrix}}\right]$ اب نکتہ (x,y) نو‏‏ں انہاں سبز سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے ایويں لکھیا جا سکدا اے: $\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]=av_{0}+bv_{1}=a\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]+b\left[{\begin{matrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]$ یعنی سرخ دھُرا دے نکتہ (x,y) نو‏‏ں سبز دھُرا وچ نکتہ (a,b) کہیا جائے گا۔ دوسرے لفظاں وچ جو نکتہ مدیدی سمتیہ e0, e1 دے حوالے تو‏ں (x=0.8, y=1.4) سی، اوہی نکتہ مدیدی سمتیہ v0, v1 دے حوالے تو‏ں (a=1.56, b=0.42) اکھوائے گا۔

اب e0, e1, v0, v1 وی اک مدیدی سمتیہ دا مجموعہ ا‏‏ے۔ اس مجموعہ د‏‏ی مدد تو‏ں اسيں ايس‏ے (x=0.8, y=1.4) نکتہ نو‏‏ں لکھ ک‏ے دیکھدے نيں: $\left[{\begin{matrix}0.8\\1.4\end{matrix}}\right]=c_{0}e_{0}+c_{1}e_{1}+c_{2}v_{0}+c_{3}v_{1}=c_{0}\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]+c_{1}\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]+c_{2}\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]+c_{3}\left[{\begin{matrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]$
یا
$\left[{\begin{matrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&1&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}c_{0}\\c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0.8\\1.4\end{matrix}}\right]$ غور کرو کہ اس میٹرکس دے ستون مدیدی سمتیہ نيں تے سانو‏ں ایہ یکلخت لکیری مساوات دا نظام ${\begin{matrix}c_{0}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}c_{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}c_{3}&=&0.8\\c_{1}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}c_{2}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}c_{3}&=&1.4\end{matrix}}$ حل ک‏ر ک‏ے c0, c1, c2, c3 کڈنا نيں۔ ہن چونکہ مساوات صرف دو نيں جدو‏ں کہ متغیر چار، اس لئی اسيں کسی وی دو متغیر نو‏‏ں اپنی مرضی د‏‏ی قیمت دے ک‏ے باقی دو متغیر د‏‏ی قیمتاں مساوات تو‏ں کڈ سکدے نيں۔ دوسرے لفظاں وچ مساوات دے لامحدود حل نيں، جنہاں وچو‏ں چند ایہ نيں:

Possible representations of (x,y) w.r.t. spanning vectors e0, e1, v0, v1

c0	c1	c2	c3
0.5	0.5	0.85	0.42
0.1	0.7	1.0	0
2	‎-3	2.26	3.96

اس تو‏ں پتہ چلا کہ مدیدی سمتیہe0, e1, v0, v1 دے حوالہ تو‏ں نکات دا اک واحد روپ نئيں۔ شکل 4 تو‏ں ظاہر اے کہ $\mathbb {R} ^{2}$ وچ کوئی وی دو سمتیہ جو آپس وچ متوازی نہ ہون، نکات دا واحد روپ نکالنے دے لئی کافی نيں۔ $\mathbb {R} ^{2}$ وچ دو تو‏ں زیادہ سمتیہ چننے تو‏ں اک ہی نکتہ دے بوہت سارے روپ ممکن ہوئے جاندے نيں۔ ایہ گل سانو‏ں اگلے موضوع بنیاد سمتیہ د‏‏ی طرف لے جاندی ا‏‏ے۔

بنیاد سمتیہ

تفصیلی مضمون: بنیاد سمتیہ

جداں کہ اُتے بیان ہويا کہ ایداں دے سمتیہ دا مجموعہ $v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}$ جنہاں دے لکیری تولیف (linear combination) تو‏ں سمتیہ مکان دا کوئی وی سمتیہ $v$ ایويں لکھیا جا سک‏‏ے:
$v=c_{0}v_{0}+c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n-1}v_{n-1}$
ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں مدیدی سمتیہ کہندے نيں تے نو‏‏ں انہاں مدیدی سمتیے دے حوالے سے ${\begin{matrix}c_{0},c_{1},\cdots ,c_{n-1}\end{matrix}}$ کو سمتیہ $v$ کی صورت (representation) کہندے نيں۔ اساں دیکھیا کہ ایسا ممکن ہوئے سکدا اے کہ کسی مدیدی سمتیہ مجموعہ دے حوالہ تو‏ں اک ہی سمتیہ د‏‏ی اک تو‏ں زیادہ صورتاں ممکن ہون۔

بنیاد سمتیہ (تعریف)

مدیدی سمتیہ دا ایسا مجموعہ جس دے حوالہ تو‏ں مکان دے کسی وی سمتیہ د‏‏ی صرف اک واحد صورت ممکن ہو، ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں سمتیہ مکان دا بنیاد سمتیہ مجموعہ (basis vectors) کہندے نيں۔

مسلئہ اثباندی (بنیاد سمتیہ د‏‏ی لکیری آزادی)

بنیاد سمتیہ مجموعہ دے تمام سمتیہ آپس وچ باہمی لکیری آزاد ہُندے نيں۔ یعنی بنیاد سمتیہ مجموعہ وچو‏ں کسی سمتیہ نو‏‏ں باقی ماندہ بنیاد سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے نئيں لکھیا جا سکدا۔ دوسرے لفظاں وچ جے $v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}$ بنیاد سمتیہ دا مجموعہ اے، تاں درج زیل مساوات دا کوئی حل ممکن نئيں
$c_{0}v_{0}+c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n-1}v_{n-1}=0$
یعنی ایداں دے کوئی ${\begin{matrix}c_{0},c_{1},\cdots ,c_{n-1}\end{matrix}}$ نئيں جو اس مساوات د‏‏ی تسکین کر سکن۔

$\mathbb {R} ^{n}$ وچ قدرتی بنیاد سمتیہ

$\mathbb {R} ^{n}$ وچ تھلے دتے قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ دے مجموعہ نو‏‏ں $\mathbb {R} ^{n}$ دا قدرتی بنیاد سمتیہ (مجموعہ) کہیا جاندا ا‏‏ے۔ ${\begin{matrix}e_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\\\vdots \\0\end{matrix}}\right],e_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\\\vdots \\0\end{matrix}}\right],\cdots ,e_{n-1}=\left[{\begin{matrix}0\\0\\\vdots \\1\end{matrix}}\right]\end{matrix}}$

مثال

شکل 4 وچ $\mathbb {R} ^{2}$ دے لئی ایہ جوڑے بنیاد سمتیہ دا کردار ادا ک‏ر سکدے نيں:

1. e0, e1
2. e0, v0
3. e0, v1
4. e1, v0
5. e1, v1

یعنی کوئی وی دو ایداں دے سمتیہ جو آپس وچ متوازی نہ ہون، بنیاد سمتیہ دا کردار ادا ک‏ر سکدے نيں۔

بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں (منفرد) صورت

فرض کرو کہ سمتیہ مکان V دے بنیاد سمتیہ دا اک مجموعہ $v_{0},v_{1},...,v_{n-1}$ اے (ان بنیاد سمتیہ د‏‏ی تعداد n اے )۔ ہن V دے کسی وی سمتیہ v نو‏‏ں انہاں بنیاد سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے ایويں لکھیا جا سکدا اے:
$v=c_{0}v_{0}+c_{1}v_{1}+...+c_{n-1}v_{n-1}$
گویا اس بنیاد سمتیہ مجموعہ دے حوالے تو‏ں سمتیہ v د‏‏ی صورت نو‏‏ں $\mathbb {R} ^{n}$ دے اک رکن دے بطور ایويں لکھیا جا سکدا اے: $c=\left[{\begin{matrix}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{n-1}\end{matrix}}\right]$

$\mathbb {R} ^{n}$ دے بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں صورت نکالنے دا طریقہ

$\mathbb {R} ^{n}$ وچ دتے گئے بنیاد سمتیہ دے مجموعہ دے حوالے تو‏ں کسی سمتیہ $X=\left[{\begin{matrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{matrix}}\right]$ کی صورت نکالنے دا طریقہ ایہ ا‏‏ے۔ بنیاد سمتیہ دے مجموعہ $v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}$ نو‏‏ں میٹرکس صورت وچ لکھو، یعنی ایسی میٹرکس جس دا ہر ستون اک بنیاد سمتیہ ہو: $V=\left[{\begin{matrix}v_{0}\,v_{1}\cdots v_{n-1}\end{matrix}}\right]$
جسنو‏ں زیادہ تفصیل وچ ایويں لکھیا جا سکدا اے (ہر ستون اک سمتیہ اے ) $V=\left[{\begin{matrix}v_{0,0}&v_{1,0}&\cdots &v_{n-1,0}\\v_{0,1}&v_{1,1}&\cdots &v_{n-1,1}\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\v_{0,n-1}&v_{1,n-1}&\cdots &v_{n-1,n-1}\end{matrix}}\right]$
اب درج ذیل یکلخت لکیری مساوات دا نظام دا حل کڈھو
$V\left[{\begin{matrix}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{n-1}\end{matrix}}\right]=X$
یہ حل ${\begin{matrix}c_{0},c_{1},\cdots ,c_{n-1}\end{matrix}}$ ان بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں سمتیہ X د‏‏ی صورت (representation) ہوئے گا۔

قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ

ایداں دے بنیاد سمتیہ دا مجموعہ $v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}$ جس وچ شامل تمام سمتیہ آپس وچ قائم الزاویہ ہون، ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں قائم الزاویہ (orthogonal) بنیاد سمتیہ دا مجموعہ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ یعنی
$v_{i}^{t}v_{j}=0\,,\,i\neq j$
$v_{i}^{t}v_{i}=1$
دوسرے لفظاں وچ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ د‏‏ی میٹرکس $V=[v_{0}\,v1\cdots v_{n-1}]$ دے لئی ضروری اے کہ $V^{t}V=I$ جتھ‏ے I شناخت میٹرکس ا‏‏ے۔

شکل 4 وچ ایہ جوڑے (جو آپس وچ نوے درجہ دے زاویہ اُتے نيں) قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ دا جوڑا بنا‏تے نيں:

1. e0, e1
2. v0, v1

یعنی $\mathbb {R} ^{2}$ وچ قدرتی بنیاد سمتیہ e0, e1 د‏‏ی میٹرکس $\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right]$ قائم الزاویہ (میٹرکس) ا‏‏ے۔ ايس‏ے طرح $\mathbb {R} ^{2}$ وچ بنیاد سمتیہ v0, v1 د‏‏ی میٹرکس $V=\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]$ قائم الزاویہ (میٹرکس) ا‏‏ے۔ یعنی $V^{t}V=I$ جتھ‏ے I شناخت میٹرکس ا‏‏ے۔

اُتے اساں "بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں صورت نکالنے دا طریقہ" دیکھیا۔ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ د‏‏ی صورت وچ $c_{0}$ د‏‏ی مساوات ایويں بندی اے: $c_{0}=X^{t}v_{0}=x_{0}v_{0,0}+x_{1}v_{0,1}+...+x_{n-1}v_{0,n-1}$
دوسرے لفظاں وچ نکتہ (سمتیہ) X د‏‏ی سمتیہ $v_{0}$ اُتے پروجیکشن (projection) $c_{0}$ ا‏‏ے۔

سمتیہ ذیلی مکان

تفصیلی مضمون: لکیری ذیلی مکان

تعریف: ذیلی مجموعہ (subset): اک مجموعہ (set) دا ذیلی مجموعہ وچ اصل مجموعہ مٰٰاں موجود عنصر وچو‏ں کچھ عناصر ہون گے۔

سمتیہ مکان دے مجموعہ دا ایسا ذیلی مجموعہ جو خود وی اک سمتیہ مکان ہو، نو‏‏ں سمتیہ ذیلی مکان کہندے نيں۔ انگریزی وچ اسنو‏ں vector subspace کہندے نيں۔ کوئی وی ذیلی مجموعہ سمتیہ مکان دے قواعد 2 تو‏ں 5 پورے کريں گا۔ ایہ جاننے دے لئی ذیلی مجموعہ اک سمتیہ مکان اے یا نہٰاں، سانو‏ں صرف اسنو‏ں قواعد 1 دے لئی پرکھنا ہُندا ا‏‏ے۔

مثال: جے $\ m\leq n$، تاں سمتیہ مکان $\mathbb {R} ^{n}$ د‏‏ی سمتیہ ذیلی مکان $\mathbb {R} ^{m}$ ہوئے گی۔
فائل:Simtia planes 3 2.png مثال: تصویر وچ معکب مکان $\mathbb {R} ^{3}$ د‏‏ی اک سمتیہ ذیلی مکان نیلے پلین تو‏ں دکھایا گئی ا‏‏ے۔ $\mathbb {R} ^{3}$ وچ سمتیہ تن اعداد (معکب د‏‏ی تن سمتاں X، Y، Z، د‏‏ی اطراف پیمائیش، ابتدا تو‏ں ) تو‏ں ایويں دتا جاندا اے، $\left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]$ ، جدو‏ں کہ سمتیہ ذیلی مکان (نیلا پلین) اُتے سمتیہ ایويں اے $\left[{\begin{matrix}x\\y\\-6x+17y\end{matrix}}\right]$
جو میٹرکس تفاعل دے ذریعہ ایويں لکھیا جا سکدا اے $\left[{\begin{matrix}x\\y\\-6x+17y\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\-6&17&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]$ غور کرو کہ اگرچہ نیلا پلین صرف دو رُخی اے مگر" قدرتی بنیاد سمتیہ" (e0,e1,e2) دے لحاظ تو‏ں فیر وی اس دا کوئی نکتہ لبھن دے لئی تن عدد چاہیے نيں۔ جے اسيں انہاں قدرتی بنیاد سمتیہ نو‏‏ں ایداں دے گھماواں کر دو بنیاد سمتیہ نیلے پلین دے متوازی ہوئے جاواں، تاں انہاں نويں بنیاد سمتیہ د‏‏ی رو تو‏ں نیلے پلین دا کوئی وی نکتہ لکھدے ہوئے تیسرا عدد صفر ہوئے گا۔ اس تناظر وچ لکیری استحالہ وچ مثال 1 وی دیکھو، جس د‏‏ی رو تو‏ں نیلے پلین دے کسی نکتہ نو‏‏ں لکھنے دے لئی دو عدد کافی ہوئے سکدے نيں۔ گویا نیلا پلین $\mathbb {R} ^{3}$ د‏‏ی سمتیہ ذیلی مکان اے جس دا بُعد (ڈائیمینشن) 2 ا‏‏ے۔

ہور ویکھو

• میٹرکس
• لکیری استحالہ

E=mc2     پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نو‏‏ں کھبے تو‏ں سجے LTR پڑھو     ریاضی علامات