گاسین اخراج

وکیپیڈیا توں
Jump to navigation Jump to search
  • Gaussian elimination

گاسین اخراج یکلخت لکیری مساوات دا نظام دا حل نکالنے دا اک تیز طریقہ اے جو اکثر شمارندہ دے الخوارزمیہ وچ استعمال کیتا جاندا ا‏‏ے۔

n متغیر وچ m یکلخت لکیری مساوات دا نظام، جتھ‏ے تے دائم نيں:
کو بطور افزائشی میٹرکس ایويں لکھیا جاندا اے

جو عمل کرنے تو‏ں مساوات دے نظام دے حل اُتے کوئی فرق نئيں پیندا، انہاں نو‏‏ں افزائشی میٹرکس دے حوالے تو‏ں ایويں بولا جا سکدا اے:

  1. اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دے دو
  2. دو قطاراں دا باہمی تبادلہ کر دو
  3. اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دینے دے بعد جو حاصل ضرب قطار ملے، اسنو‏ں کسی دوسری قطار وچ جمع کر دو

ان عملیات نو‏‏ں ابتدائی قطار عملیات کہیا جاندا ا‏‏ے۔

  • elementary row operations = ابتدائی قطار عملیات

گاسین اخراج دے طریقہ وچ مساوات دے حل د‏‏ی طرف جانے دے لئی افزائشی میٹرکس نو‏‏ں ابتدائی قطار عملیات دے ذریعہ ترتیبہ ہیئت وچ لے جاندے نيں۔ تعریف: جے میٹرکس وچ مندرجہ ذیل خصوصیات ہاں، تاں میٹرکس نو‏‏ں ترتیبہ ہیئت کہندے نيں:

  1. جے قطار سب صفر نہ ہو، تاں قطار دا پہلا غیر صفر جُز (کبھے طرف تو‏ں ) اک (1) ہوئے۔ اس 1 نو‏‏ں "اول 1" کہندے نيں۔
  2. جے کچھ ایسی قطاراں ہو جو تمام صفر ہاں، تاں ایہ قطاراں سب تو‏ں تھلے ہاں
  3. کسی وی دو قطاراں (جو غیر صفر ہاں) وچ اُتے والی قطار دا "اول 1" تھلے والی قطار دے "اول "1 دے کبھے طرف ہونا چاہیے۔
  • row echelon form=ترتیبہ ہیئت
  • leading=اول

مثال دے طور اُتے میٹرکس ترتیبہ ہیئت وچ ا‏‏ے۔ جب میٹرکس اس ہیئت وچ آ جائے تاں نظام دا حل آسانی تو‏ں "الٹا تبادلہ" دے ذریعہ کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔

  • back substitution=الٹا تبادلہ

اب اسيں اک مثال دے ذریعہ اُتے والے عملیات استعمال کردے ہوئے لکیری مساوات دا نظام حل کرنے دا گاسین اخراج دا کا طریقہ سمجھاندے نيں:

مثال[لکھو]

  • تاں متغیر وچ تن لکیری مساوات دے نظام

کو افزائشی میٹرکس دے بطور لکھو

  • اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلے ستون (کبھے طرف تو‏ں ) وچ مطلق قیمت وچ سب تو‏ں وڈا عنصر -5 ا‏‏ے۔ اس لئی اسيں تیسری قطار نو‏‏ں سب تو‏ں اُتے لے آندے نيں۔ یعنی پہلی تے تیسری قطار دا تبادلہ۔

  • اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار نو‏‏ں -1/5 تو‏ں ضرب دو (تو افزائشی میٹرکس ایويں ہو جائے گی)

  • اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار نو‏‏ں -3 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے اسنو‏ں دوسری قطار وچ جمع کر دو

  • اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار نو‏‏ں 2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے اسنو‏ں تیسری قطار وچ جمع کر دو

  • ہن اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں بھُل جاؤ تے اس تو‏ں تھلے د‏‏ی قطاراں نو‏‏ں دیکھو۔ دوسرے ستون وچ مطلق قیمت وچ سب تو‏ں وڈی رقم (-22/5) سب تو‏ں اُتے اے اس لئی سانو‏ں قطار تبادلہ کرنے د‏‏ی ضرورت نئيں۔ اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی دوسری قطار نو‏‏ں -5/22 تو‏ں ضرب دو

  • اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی دوسری قطار نو‏‏ں -7/5 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے اسنو‏ں تیسیر قطار وچ جمع کر دو

  • اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی تیسری قطار نو‏‏ں 1/5 تو‏ں ضرب دو

اب ایہ میٹرکس ترتیبہ ہیئت وچ آ گئی ا‏‏ے۔ اس میٹرکس دا نظام ایويں لکھیا جا سکدا اے:

  • دیکھو کہ آخری مساوات تو‏ں سانو‏ں د‏‏ی قیمت معلوم ہو چک‏ی اے:

اب ایہ قیمت اسيں دوسری مساوات وچ ڈال کر د‏‏ی قیمت حاصل کر لیندے نيں:

اب تے د‏‏ی قیمتاں پہلی مساوات وچ ڈال کر د‏‏ی قیمت ایويں معلوم ہُندی اے:

تو پورے لکیری مساوات نظام دا حل ایويں ہويا

مٰیٹرکس دا اُلٹ کڈنا[لکھو]

گاسین اخراج جداں طریقے تو‏ں اک میٹرکس دا اُلٹ کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ اس دے لئی میٹرکس A نو‏‏ں شناخت میٹرکس دے نال افزائش ک‏ر ک‏ے لکھدے نيں فیر اس افزائش میٹرکس اُتے اَگڑ پِچھڑ بنیادی قطار عمل اس طرح کردے نيں کہ اس دا روپ جائے۔ ہن مٰیٹرکس A تے B اک دوسرے دا الٹ ہون گے۔ یعنی

یہ طریقہ اسيں اک مثال دے ذریعہ سمجھاندے نيں:

مثال[لکھو]

میٹرکس

کو مقلوب کرنا مقصود ا‏‏ے۔

  • اوہدی شناخت میٹرکس تو‏ں افزائش کردے ہوئے:
  • اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں 1/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے
  • اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں -3 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں دوسری قطار وچ جمع کر دو
  • اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں -5 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں تیسری قطار وچ جمع کر دو
  • اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ دوسری قطار نو‏‏ں -2/13 تو‏ں ضرب دو
  • اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ دوسری قطار نو‏‏ں 7/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں تیسری قطار وچ جمع کر دو
  • اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ تیسری قطار نو‏‏ں -13/110 تو‏ں ضرب دو
  • اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ تیسری قطار نو‏‏ں 11/13 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں دوسری قطار وچ جمع کر دو
  • اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ تیسری قطار نو‏‏ں 1/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں پہلی قطار وچ جمع کر دو
  • اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ دوسری قطار نو‏‏ں -3/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں پہلی قطار وچ جمع کر دو
  • ہن ساڈے پاس کبھے طرف شناخت میٹرکس آ گئی ا‏‏ے۔ اس لئی سجے جانب میٹرکس

اصل میٹرکس دا الٹ ا‏‏ے۔

نوٹ[لکھو]

جے کسی مرحلہ اُتے تمام صفر قطار مل جائے تاں اس تو‏ں ایہ نتیجہ نکلدا اے کہ میٹرکس مقلوب نئيں (یعنی الٹ ممکن نئيں)۔

ابتدائی میٹرکساں[لکھو]

اُتے اساں بنیادی قطار عملیات بیان کیتے، جو د‏‏ی ایہ نيں:

  1. اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دے دو
  2. دو قطاراں دا باہمی تبادلہ کر دو
  3. اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دینے دے بعد جو حاصل ضرب قطار ملے، اسنو‏ں کسی دوسری قطار وچ جمع کر دو

تعریف: ابتدائی میٹرکس: ایسی میٹرکس جو شناخت میٹرکس اُتے کوئی وی ابتدائی قطار عمل تو‏ں حاصل ہو نو‏‏ں ابتدائی میٹرکس کہندے نيں۔

ابتدائی میٹرکس د‏‏ی خوبی ایہ اے کہ اس تو‏ں کسی میٹرکس A" نو‏‏ں ضرب دینے تو‏ں میٹرکس A اُتے ابتدائی قطار عمل ہو جاندا ا‏‏ے۔

  • مثلاً

ابتدائی میٹرکس تو‏ں ضرب دینے تو‏ں کسی وی میٹرکس د‏‏ی دوسری قطار 3 تو‏ں ضرب کھا جاندی ا‏‏ے۔

  • مثلاً

ابتدائی میٹرکس تو‏ں ضرب دینے تو‏ں کسی وی میٹرکس د‏‏ی دوسری تے تیسری قطاراں دا باہمی تبادلہ ہو جاندا ا‏‏ے۔

  • مثلاً

ابتدائی میٹرکس تو‏ں ضرب دینے تو‏ں کسی وی میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار وچ تیسری قطار دا 2 تو‏ں حاصل ضرب جمع ہو جاندا ا‏‏ے۔

  • ابتدائی میٹرکس =Elementary matrix

ابتدائی میٹرکس ہمیشہ مقلوب میٹرکس ہُندی ا‏‏ے۔

میٹرکس الٹ طریقہ د‏‏ی وجہ[لکھو]

اُتے اساں میٹرکس الٹ نکالنے دا طریقہ بنیادی قطار عملیات دے ذریعہ نکالنے دا طریقہ بیان کیتا جس وچ میٹرکس A دا الٹ نکالنے دے لئی افزائش میٹرکس اُتے بنیادی قطار عملیات کیتے جاندے نيں حتی کہ افزائش میٹرکس دا روپ ہو جائے۔ یعنی افزائش میٹرکس دا A والا حصہ شناخت میٹرکس وچ تبدیل ہو جائے۔ اس طریقہ نو‏‏ں ابتدائی میٹرکس د‏‏ی مدد تو‏ں ایويں سمجھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ فرض کرو کہ میٹرکس اُتے بنیاد قطار عمل انہاں K ابتدائی میٹرکس (میٹرکساں) تو‏ں ضرب دے برابر نيں:

تو میٹرکس الجبرا د‏‏ی رو سے

یعنی اوہی عمل شناخت میٹرکس نو‏‏ں A دے الٹ وچ بدل دین گے۔

ہور ویکھو[لکھو]

باہرلے جوڑ[لکھو]

سانچہ:ریاضی مدد