طوریہ

اصطلاح	term
طور طوریہ منحنی موج تولیف	phase phasor sine wave combination

طوریہ نو‏‏ں بطور گھُمدے ہوئے سمتیہ دیکھیا جا سکدا اے

فزکس تے ہندسیات وچ ، طور سمتیہ (طوریہ) اک ایسی محننی موج (sine wave) د‏‏ی نمائندگی کردا اے جس دا حیطہ (A)، طور (θ) تے تعدد (ω) "وقتی-غیرتغیر" ہون۔ طوریہ دے استعمال تو‏ں ایہ موج تن جُز تو‏ں لکھی جا سکدی اے تے اس طرح کچھ حسابگری آسان ہو جاندی ا‏‏ے۔ خاص طور پر، تعدد جُز، جو منحنی موج د‏‏ی "وقت تابعی" وی ظاہر کردا اے، اکثر اوقات موجاں دے لکیری تولیف د‏‏ی اجزا موجاں دے لئی یکساں ہُندا ا‏‏ے۔ طوریہ دے استعمال تو‏ں ایہ باہر نکل آندا اے تے فیر ساکن حیطہ تے طور رہ جاندے نيں، جنہاں د‏‏ی الجبرائی تولیف د‏‏ی جا سکدی اے (بجائے کہ مثلثیاندی)۔ اسی طرح لکیری تفرقی مساوات نو‏‏ں الجبرائی بنایا جا سکدا ا‏‏ے۔ اس لئی اکثر طوریہ صرف انہاں دو جُز (حیطہ تے طور) دے لئی استعمال ہُندا ا‏‏ے۔

تعریف

عائلری کلیہ دسدا اے کہ منحنی موج نو‏‏ں دو مختلط-قدر فنکشن د‏‏ی حاصل جمع تو‏ں ریاضیا‏تی نمائندہ کیتا جا سکدا اے:

A\cdot \cos(\omega t+\theta )=A/2\cdot e^{i(\omega t+\theta )}+A/2\cdot e^{-i(\omega t+\theta )},

^[۱]

یا فیر درج ذیل فنکشن دے حقیقی حصہ تو‏ں :

{\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=\operatorname {Re} \left\{A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}\right\}\\&=\operatorname {Re} \left\{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right\}.\end{aligned}}

جداں کہ اُتے دسیا گیا، طوریہ نو‏‏ں $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}\,$ لکھیا جا سکدا اے یا صرف مختلط دائم $Ae^{i\theta }\,$ ۔ دوسری صورت وچ ایہ سمجھیا جائے کہ ایہ زیر نظر منحنی موج دے حیطہ تے طور نو‏‏ں رمز کرنے دا طریقہ اے (تے تمام زیر نظر موجاں دا تعدد برابر اے )۔

طوریہ دے لئی اس تو‏ں وی زیادہ مختصر نویسی زاویہ د‏‏ی علامت استعمال کردے ہوئے $A\angle \theta .\,$ ا‏‏ے۔

منحنی موج نو‏‏ں مختلط میدان وچ گھُمدے ہوئے سمتیہ دا حقیقی محدر اُتے مسقط سمجھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ سمتیہ د‏‏ی مطلق قدر ارتعاش دا حیطہ اے، جدو‏ں کہ اس دا استدلال (زاویہ) موج دا کُل طور $\omega t+\theta$ ا‏‏ے۔ طور دائم $\theta$ اس زاویہ دا نمائندہ اے جو مختلط سمتیہ حقیقی محدر تو‏ں وقت $t=0$ اُتے بناندا ا‏‏ے۔

طوریہ حساب

طوریہ اُتے لکیری عالج دے استعمال تو‏ں تعدد تبدیل نئيں ہُندا۔ اس لئی جدو‏ں تک اک ہی تعدد رکھنے والی منحنی موجاں لکیری نظام تو‏ں گزر رہی ہاں، طوریہ حساب دا استعمال کیتا جا سکدا ا‏‏ے۔

دائم (عددیہ) تو‏ں ضرب

طوریہ $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}\,$ نو‏‏ں مختلط دائم $Ze^{i\phi }\,$ تو‏ں ضرب دینے تو‏ں اک ہور طوریہ حاصل ہُندا ا‏‏ے۔ مطلب ایہ کہ اس دا اثر منحنی موج دا حیطہ تے طور (زاویہ) تبدیل کرنے دا ہُندا اے:

{\begin{aligned}\operatorname {Re} \{(Ae^{i\theta }\cdot Ze^{i\phi })\cdot e^{i\omega t}\}&=\operatorname {Re} \{(AZe^{i(\theta +\phi )})\cdot e^{i\omega t}\}\\&=AZ\cos(\omega t+(\theta +\phi ))\end{aligned}}

برقیات وچ $Ze^{i\phi }\,$ برقی مسدودیت (جو وقت تو‏ں آزاد ہُندی اے ) د‏‏ی نمائندگی کر سکدی ا‏‏ے۔ خیال رہے کہ جے $Ze^{i\phi }\,$ تو‏ں مراد مختصر نویس علامت وچ طوریہ ہو (جو "وقت-منحصری" نو‏‏ں چھپاندا اے )، تاں دو طوریہ د‏‏ی ضرب دو منحنی موجاں د‏‏ی ضرب اے، جو غیر لکیری عالج اے، اس لئی اس ضرب تو‏ں طوریہ حاصل نئيں ہُندا۔ دو منحنی موجاں د‏‏ی ضرب تو‏ں ہور تعدد دا کلمہ حاصل ہُندا اے، جس د‏‏ی نمائندگی اک طوریہ سے نئيں ہُندی۔

جمع

متعدد طوریہ نو‏‏ں جمع کرنے تو‏ں نواں طوریہ پیدا ہُندا ا‏‏ے۔ اس وجہ تو‏ں کہ منحنی موجاں جنہاں دا تعدد اک ہی ہو، دا حاصل جمع وی منحنی موج ہُندی اے جس دا تعدد وی اوہی ہُندا اے:

{\begin{aligned}A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\}+\operatorname {Re} \{A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}})e^{i\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{(A_{3}e^{i\theta _{3}})e^{i\omega t}\}\\&=A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}

جتھ‏ے:

A_{3}^{2}=(A_{1}\cos(\theta _{1})+A_{2}\cos(\theta _{2}))^{2}+(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))^{2}

\tan(\theta _{3})={\frac {A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2})}{A_{1}\cos(\theta _{1})+A_{2}\cos(\theta _{2})}}.

طوریہ دا حاصل‌جمع گھُمدے سمتیہ د‏‏ی جمع سے

کلیدی نکتہ ایہ اے کہ A₃ تے θ₃ منحصر نئيں ω تے t پر، جو طوریہ علامت ممکن بناندا ا‏‏ے۔ حاصل کلام ایہ کہ جے استعمال ہونے والے عالج ایداں ہاں جو نواں طوریہ بنایا کردے ہاں، تاں حسابگری وچ 'وقت' تے 'تعدد' د‏‏ی منحصری نو‏‏ں دبایا جا سکدا اے تے جواب وچ دوبارہ شامل کیتا جا سکدا ا‏‏ے۔ زاویہ د‏‏ی علامت وچ ، اُتے والے عالج نو‏‏ں ایويں لکھیا جا سکدا اے:

A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}

اسنو‏ں دیکھنے دا دوسرا طریقہ ایہ اے کہ دو سمتییہ جنہاں دے متناسق [A₁ cos(ωt+θ₁), A₁ sin(ωt+θ₁)] تے [A₂ cos(ωt+θ₂), A₂ sin(ωt+θ₂)] ہاں، نو‏‏ں سمتیائی جمع کرنے تو‏ں جو سمتیہ حاصل ہُندا اے اس دے متناسق [A₃ cos(ωt+θ₃), A₃ sin(ωt+θ₃)] نيں۔ دیکھو حراک، نیلی تے سرخ منحنی موج د‏‏ی حاصل جمع قرمزی رنگ د‏‏ی منحنی موج ا‏‏ے۔

تفریق تے تکامل

طوریہ دے وقتی تفریق یا تکامل تو‏ں اک ہور طوریہ بندا ا‏‏ے۔^[۲] مثال دے طور پر

{\begin{aligned}\operatorname {Re} \left\{{\frac {d}{dt}}(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t})\right\}&=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\}\\&=\omega A\cdot \cos(\omega t+\theta +\pi /2)\end{aligned}}

اس لئی، طوریہ نمائندگی وچ ، منحنی موج دا وقتی مشتق اس دائم $i\omega =(e^{i\pi /2}\cdot \omega ).\,$ تو‏ں ضرب ثابت ہُندا ا‏‏ے۔ بعینہ، طوریہ دا تکامل ارتباط اے دائم $i\omega =(e^{i\pi /2}\cdot \omega ).\,$ تو‏ں تقسیم کے۔ وقتی منحصر جُز $e^{i\omega t}\,$ ، متاثر نئيں ہُندا۔ جدو‏ں اسيں لکیری تفریق مساوات حل ک‏ر رہ‏ے ہُندے نيں، تاں اسيں جُز $e^{i\omega t}\,$ نو‏‏ں تمام اصطلاحات وچو‏ں علاحدہ ک‏ر رہ‏ے ہُندے نيں تے فیر جواب وچ دوبارہ گھسا دیندے نيں۔ مثال دے طور اُتے درج ذیل تفریق مساوات وچ مکثف دے پار وولٹیج دے لئی RC circuit:

{\frac {d\ v_{C}(t)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)={\frac {1}{RC}}v_{S}(t)

جب وولٹیج ماخذ منحنی موج ہو:

v_{S}(t)=V_{P}\cdot \cos(\omega t+\theta ),\,

ہم عوض ک‏ر سکدے نيں:

{\begin{aligned}v_{S}(t)&=\operatorname {Re} \{V_{s}\cdot e^{i\omega t}\}\\\end{aligned}}

v_{C}(t)=\operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\},

جتھ‏ے طوریہ Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/pnb.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle V_s = V_P e^{i\theta},\,} تے طوریہ $V_{c}\,$ اوہ نامعلوم مقدار اے جس دا تعین کرنا ا‏‏ے۔ طوریہ مختصر نویس علامت وچ ، تفرق مساوات بن جاندی اے ^[۳]:

i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}

مکثف دے طوریہ وولٹیج دے لے حل کرنے نال ملدا اے:

V_{c}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot (V_{s})={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot (V_{P}e^{i\theta })\,

جداں اساں دیکھیا، مختلط دائم جُز $v_{C}(t)\,$ تو‏ں $v_{s}(t)\,$ دا اضافی حیطہ تے طور وچ فرق نو‏‏ں ظاہر کردا ا‏‏ے۔ قطبی متناسق وچ ، ایہ جُز اے:

{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},\,

جتھ‏ے

\phi (\omega )=\arctan(\omega RC).\,

اس لئی:

v_{C}(t)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{P}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega ))

حوالے

↑
* i تخیلات‏ی ایکائی اے، جتھ‏ے ( $i^{2}=-1$ $i^{2}=-1$ )
- برقی انجینئری د‏‏ی کتاباں وچ تخیلات‏ی ایکائی نو‏‏ں j د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا اے
- موج دا تعدد ہرٹز د‏‏ی ایکائی وچ $\omega /2\pi$ ہوئے گا
↑ یہ اس : ${\frac {d}{dt}}(e^{i\omega t})=i\omega e^{i\omega t}$ سے حاصل ہُندا اے، جس دا مطلب ایہ اے کہ مشتق عالج وچ اَسّی دالہ مشتق عالج دا ویژہ دالہ ا‏‏ے۔
↑ ثبوت: سانچہ:NumBlk چونکہ ایہ تمام t دے لئی سچ اے، خاص: $t-{\frac {\pi }{2\omega }},\,$ ، اس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ: سانچہ:NumBlk یہ وی فوری طور اُتے دیکھیا جا سکدا اے کہ
${\frac {d\ \operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{dt}}=\operatorname {Re} \left\{{\frac {d\left(V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right)}{dt}}\right\}=\operatorname {Re} \left\{i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\}$

${\frac {d\ \operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{dt}}=\operatorname {Im} \left\{{\frac {d\left(V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right)}{dt}}\right\}=\operatorname {Im} \left\{i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\}$
ان نو‏‏ں مساوات سانچہ:EquationNote تے سانچہ:EquationNote وچ ڈال کر، مساوات سانچہ:EquationNote نو‏‏ں $i,\,$ تو‏ں ضرب دے ک‏ے تے دونے مساوات نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے حاصل ہُندا اے:
$i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{c}\cdot e^{i\omega t}={\frac {1}{RC}}V_{s}\cdot e^{i\omega t}$

$\left(i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}\right)\cdot e^{i\omega t}$

$i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}\quad \quad (QED)$

E=mc² پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نو‏‏ں کھبے تو‏ں سجے LTR پڑھو ریاضی علامات

[1] * i تخیلات‏ی ایکائی اے، جتھ‏ے ( $i^{2}=-1$ )
برقی انجینئری د‏‏ی کتاباں وچ تخیلات‏ی ایکائی نو‏‏ں j د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا اے

موج دا تعدد ہرٹز د‏‏ی ایکائی وچ $\omega /2\pi$ ہوئے گا

[2] برقی انجینئری د‏‏ی کتاباں وچ تخیلات‏ی ایکائی نو‏‏ں j د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا اے

[3] موج دا تعدد ہرٹز د‏‏ی ایکائی وچ $\omega /2\pi$ ہوئے گا

[2] یہ اس : ${\frac {d}{dt}}(e^{i\omega t})=i\omega e^{i\omega t}$ سے حاصل ہُندا اے، جس دا مطلب ایہ اے کہ مشتق عالج وچ اَسّی دالہ مشتق عالج دا ویژہ دالہ ا‏‏ے۔

[3] ثبوت: سانچہ:NumBlk چونکہ ایہ تمام t دے لئی سچ اے، خاص: $t-{\frac {\pi }{2\omega }},\,$ ، اس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ: سانچہ:NumBlk یہ وی فوری طور اُتے دیکھیا جا سکدا اے کہ
${\frac {d\ \operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{dt}}=\operatorname {Re} \left\{{\frac {d\left(V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right)}{dt}}\right\}=\operatorname {Re} \left\{i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\}$

${\frac {d\ \operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{dt}}=\operatorname {Im} \left\{{\frac {d\left(V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right)}{dt}}\right\}=\operatorname {Im} \left\{i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\}$
ان نو‏‏ں مساوات سانچہ:EquationNote تے سانچہ:EquationNote وچ ڈال کر، مساوات سانچہ:EquationNote نو‏‏ں $i,\,$ تو‏ں ضرب دے ک‏ے تے دونے مساوات نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے حاصل ہُندا اے:
$i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{c}\cdot e^{i\omega t}={\frac {1}{RC}}V_{s}\cdot e^{i\omega t}$

$\left(i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}\right)\cdot e^{i\omega t}$

$i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}\quad \quad (QED)$

[۱]

[۲]

[۳]