تموینی نقشہ

اصطلاح	term
تموینی نقشہ رَجعت تعلق	Logistic map recurrence relation

ریاضٰی وچ رَجعت تعلق، جس د‏‏ی بطور مساوات صورت ایہ اے

$\ x_{n+1}=ax_{n}(1-x_{n})$

یہ مساوات دے لئی شواشی طرز دا مظاہرہ کردی ا‏‏ے۔

تریخ

فائل:Logis pop growth.png

تصویر 9 (آبادی دا فروغ)

"لاجسٹک" فرانسیسی لفظ logis بمعنی lodging یا "گھر" تو‏ں نکلیا ا‏‏ے۔ تاریخی طور اُتے لاجسٹک میپ، کسی ایسی آبادی $x_{n}$ نو‏‏ں لکھݨ دے لئی استعمال ہوئی، جتھے وسائل محدود ہوݨ د‏‏ی وجہ تو‏ں آبادی اک حد تو‏ں اگے نئيں ودھ سکدی۔ فرض کرو کہ ایہ حد 1 اے، یعنی سو فیصد۔ مثلاً $x_{n}=0.1$ دا مطلب اے کہ وقت n اُتے آبادی دس فیصد ا‏‏ے۔ تاں آبادی ودھنے د‏‏ی شرح ${\frac {x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}}}$ بمطابق ہوئے گی اس اُتے کہ کِنّی گنجائش $\ (1-x_{n})$ باقی رہ گئی اے، یعنی

${\frac {x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}}}\propto (1-x_{n})$

یا

${\frac {x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}}}=b(1-x_{n})$

جہاں b اک دائم عدد چنا جا سکدا ا‏‏ے۔ تصویر 9 وچ شرح دائم b د‏‏ی وکھ وکھ قدراں 0.1, 0.2, 0.3، دے لئی آبادی دا فروغ دکھایا گیا ا‏‏ے۔

ہم باقی بحث وچ لاجسٹک میپ د‏‏ی سادہ قسم

$\ x_{n+1}=ax_{n}(1-x_{n})$

استعمال کرن گے۔

طرز

فائل:Feedback logistic.png

تصویر 1

اصطلاح	term
ایکا تَاَخُّر ارتجاع تکرار ناصف اخراج ادخال	unit delay feedback iteration bisector output input

فائل:Logistic a2.png

تصویر2

رجعت تعلق مساوات نو‏‏ں تصویر 1 وچ ارتجاع نظام دے طور اُتے دکھایا گیا ا‏‏ے۔ وقت n اُتے اس نظام دا اخراج $x_{n}$، اگلے وقت n+1 دے لئی اس دا ادخال بن جاندا ا‏‏ے۔ مساوات دے تکرار دے عمل نو‏‏ں گراف دے ذریعہ تصویر 2 وچ دکھایا گیا ا‏‏ے۔ اس تصویر وچ سرخ رنگ تو‏ں فنکشن (map)

$\ y=g(x)=ax(1-x)$

دکھائی گئی اے، جدو‏ں کہ کالے رنگ وچ خط تنصیف

$\ y=x$

ہے (ناصف)۔ انہاں گراف (کالے ناصف تے سرخ فنکشن) دا سنگم اس رجعت تعلق دا مستقل نکتہ ا‏‏ے۔ تکرار دے عمل نو‏‏ں اسيں ایويں سمجھ سکدے نيں۔ $X_{0}$ نو‏‏ں رجعت مساوات تو‏ں گزارنے دے عمل نو‏‏ں $X_{0}$ تو‏ں سرخ گراف تک جاندی ہوئی عمودی نیلی لکیر تو‏ں دکھایا گیا اے، جتھو‏ں افقی نیلی لکیر اسنو‏ں خط تنصیف تو‏ں منعکس ہو ک‏ے $X_{1}$ بندا دکھاندی ا‏‏ے۔ اس طرح اک تکرار مکمل ہُندی ا‏‏ے۔

فائل:Logistic a3.png

تصویر 3

تصویر 2 وچ a=2۔ دیکھو کہ a د‏‏ی اس قیمت دے لئی کسی وی نکتہ تو‏ں تکرار شروع کرن تاں وڈی تیزی تو‏ں مستقل نکتہ د‏‏ی طرف سفر شروع ہو جاندا ا‏‏ے۔ تصویر وچ تیسری تکرار اُتے اسيں مستقل نکتہ دے کافی نیڑے پہنچ چکے نيں۔

فائل:Logistic a4 500.png

تصویر 4

اسی رجعت تعلق د‏‏ی تکرار a=3 دے لئی تصویر 3 وچ دکھاندے نيں۔ ایتھ‏ے وی اسيں مستقل نکتہ د‏‏ی طرف جاندے نيں مگر نسبتاً بوہت گھٹ رفتار تو‏ں (ودھ تکرار د‏‏ی لوڑ پڑدی اے )۔ بہرکیف کسی وی آغازی قیمت تو‏ں شروع ہو ک‏ے تمام راستے ايس‏ے مستقل نکتہ د‏‏ی طرف مرکوز ہوݨ گے۔

اصطلاح	term
آغازی حالت حساسی آمیزش معیادی محور	initial condition sensitivity mixing periodic orbit

a=4

تصویر 4 وچ ايس‏ے رجعت تعلق مساوات د‏‏ی a=4 دے لئی تکرار دکھائی گئی ا‏‏ے۔ تصویر وچ 500 تکرار دکھائ گئیاں نيں۔ دیکھو کہ تکرار اپنے مستقل نکتہ د‏‏ی طرف نئيں جاندی بلکہ بے ترتیبی تو‏ں ہر طرف ناچک‏ی رہندی ا‏‏ے۔ تھلے جدول وچ اسيں اس مساوات دے تکرار دے دو سلسلہ لکھدے نيں، جو معمولی دوری تو‏ں شروع ہُندے نيں، اک جدول وچ $X_{0}=0.800000$ تے دوسرے وچ $X_{0}=0.800001$ ا‏‏ے۔ نويں تکرار تک ایہ سلسلہ اک دوسرے د‏‏ی نیڑے نيں، مگر انسويں تکرار دے بعد دونے سلسلے بالکل جدا ہو جاندے نيں۔ یقین ہی نئيں آندا کہ دونے اِنّی قربت اُتے شروع ہوئے سن ۔ رجعت تعلق (a=4) د‏‏ی اس کفیت نو‏‏ں "آغازی حالت اُتے حساسی" کہیا جاندا ا‏‏ے۔ اس دے برعکس تصویر 2 (a=2) وچ جے دو قریبی نکتاں تو‏ں تکرار دے دو سلسلے چلائے جاواں تاں دونے سلسلےآں دا اک دوسرے تو‏ں فاصلہ، وقت گزرنے دے نال کم ہُندا جائے گا (یعنی a=2 دے لئی رجعت تعلق آغازی حالت اُتے حساس نئيں)۔

جدول 1 تے 2

a=4 n $X_{n}$ 0 0.800000 9 0.1478366 19 0.8200139 29 0.3203425 39 0.0979421 49 0.4960126 59 0.6536493 69 0.0853886 79 0.7755472 89 0.1448546

a=4 n $X_{n}$ 0 0.800001 9 0.1469291 19 0.4132492 29 0.9384601 39 0.6175995 49 0.6723609 59 0.8131303 69 0.6325161 79 0.6063381 89 0.0508795

فائل:Logistic a4 10000 100.png

تصویر 5

وضحات دے لئی تصویر 5 وچ ايس‏ے قیمت a=4 دے لئی اساں 10000 تکراراں دے بعد د‏‏ی 400 تکرار دکھائی نيں۔ دیکھو کہ ایہ اپنے مستقل نکتہ د‏‏ی طرف نئيں جا رہی۔ "آغازی حالت اُتے حساسی" شواشی پن د‏‏ی پہلی نشانی ا‏‏ے۔

"آغازی حالت اُتے حساسی" تو‏ں اک ہور اہ‏م نکتہ نکلدا ا‏‏ے۔ جداں کہ اسيں جاݨدے نيں کہ کمپیوٹر وچ اعداد نو‏‏ں محدود درستی تو‏ں شمار کيتا جا سکدا ا‏‏ے۔ فرض کرو کہ اک کمپیوٹر د‏‏ی اندونی درستی تن (3) رقمی ا‏‏ے۔ ہن جے تھلے دتی ضرب نو‏‏ں دیکھو

$2.31\times 3.33=7.6923$

مگر چونکہ ساڈا ایہ کمپیوٹر صرف تن رقمی درستی عدد تو‏ں کم کردا اے، اس لئی ایہ جواب 7.69 کڈے گا۔ ہن اگلی تکرار دے لئی 7.6923 د‏‏ی بجائے 7.69 استعمال ہوئے گا۔ مگر اساں دیکھیا کہ ساڈی رجعت تعلق بہت حساس اے، جس دا مطلب اے کہ جلد ہی کمپیوٹر اُتے تکرار دے جواب اصل تو‏ں دور ہٹتے جاواں گے تے بہت ساریاں تکرار دے بعد بالکل غلط جواب نکلاں گے۔ اس لئی کوئی وی عام کمپیوٹر ودھ تکرار دے بعد صحیح جواب نئيں کڈ پائے گا۔ اس نکتہ اُتے اسيں تھلے دوبارہ گل کرن گے۔

شواشی پن د‏‏ی دوسری نشانی "آمیزش" ا‏‏ے۔ تصویر چار وچ اساں دیکھیا کہ اک نکتہ تو‏ں شروع ہو ک‏ے محور پورے وقفہ (0,1) وچ پھیل گیا۔ اس طرح ایہ ثابت کيتا جا سکدا اے کہ جے وقفہ (0,1) دے دو ذیلی وقفہ I تے J ہوݨ، چاہے لمبائی وچ جِنّے ہی چھوٹے ہاں (مگر لمبائی صفر نہ ہو)، تاں وقفہ I وچ ایداں دے نکتے موجود ہوݨ گے کہ جنہاں تو‏ں تکرار شروع ک‏ر ک‏ے وقفہ J تک پہنچیا جا سکدا ا‏‏ے۔ اسنو‏ں آمیزش کہیا جاندا ا‏‏ے۔

شواشی پن د‏‏ی تیسری نشانی "معیادی محور" نيں۔ جے اسيں $X_{0}=0$ تو‏ں شروع کرن تاں صفر اُتے ہی رہن گے۔ اس محور د‏‏ی معیاد 1 ا‏‏ے۔ اس طرح ایہ ثابت کيتا جا سکدا اے کہ یہ

$\left\{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{7}}\right),\sin ^{2}\left({\frac {2\pi }{7}}\right),\sin ^{2}\left({\frac {4\pi }{7}}\right)\right\}$

معیاد 3 دا اک معیادی محور ا‏‏ے۔ جے اسيں کمپیوٹر اُتے انہاں نکتاں وچو‏ں کسی تو‏ں شروع ک‏ر ک‏ے تکرار شروع کرن تو، جداں کہ اُتے بحث ہوئی کہ شمارندی درستی محدود ہُندی اے، کمپیوٹر دے مطابق بہت ساریاں تکراراں دے بعد محور معیادی نئيں لگے گا، مگر ایہ شمارندی د‏‏ی محدود درستی د‏‏ی وجہ تو‏ں ا‏‏ے۔ اس طرح ایہ ثابت کيتا جا سکدا اے کہ جے وقفہ (0,1) دے کسی وی ذیلی وقفہ، چاہے لمبائی وچ جِنّا ہی چھوٹا ہو (مگر لمبائی صفر نہ ہو)، تاں اس وقفہ وچ ایداں دے نکتے موجود ہوݨ گے کہ جنہاں تو‏ں تکرار شروع ہو ک‏ے اک معیادی محور جنم لے گا۔

فائل:Epsilon shadow logistic.png

تصویر7

اصطلاح	term
سایہ ؟؟ ε۔سایہ دو شاخہ معیاد دوہری	Shadowing lemma ε-shadow bifurcation period doubling

اُتے بیان ہويا کہ آغازی حساسی د‏‏ی بنا اُتے کوئی وی کمپیوٹر بہت ساریاں تکراراں دے بعد غلط جواب دینا شروع کر دیندا اے حتٰی کہ شمارندی محور بالکل وکھ وکھ ہو جاندا اے حقیقی محور تاں۔ سوال پیدا ہُندا اے کہ کیہ کمپیوٹر اُتے محور د‏‏ی شمارندی دا کوئی فائدہ وی اے جدو‏ں اس نے غلط محور ہی دکھانا اے ؟ اس دا جواب ایہ اے کہ جو وی محور شمارندی ہوئے گا، اس محور دے نیڑے اک حقیقی محور موجود ہوئے گا تے انہاں محوراں دے درمیان فاصلہ ε تو‏ں کم ہوئے گا، جتھے ε شمارندی خصوصیات اُتے منحصر ہوئے گا۔ تصویر 7 وچ کالے رنگ تو‏ں شمارندی محور دکھایا گیا اے تے سرخ رنگ وچ اک حقیقی محور اے جو ہر قدم اُتے کالے محور تو‏ں ε تو‏ں کم فاصلے اُتے ا‏‏ے۔ اسنو‏ں ایويں بیان کيتا جاندا اے کہ شمارندی محور دے ε۔ سایہ وچ اک حقیقی محور موجود ہُندا ا‏‏ے۔ اس لئی کمپیوٹر اُتے محور د‏‏ی شماریات کرنے دا فائدہ ا‏‏ے۔

دو شاخہ

تصویر 6: دو شاخہ

اصطلاح	term
فیگنبام دائم باکشش ؟	Feigenbaum constant attractive repell

رجعت تعلق

$\ x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$

کو r د‏‏ی کسی قدر $\ 0<r<3$ دے لئی تکرار کيتا جائے، تاں کسی وی آغازی نکتہ تو‏ں شروع ہو ک‏ے اسيں اک مستقل نکتہ اُتے پہنچ جاندے نيں۔ ایہ تصویر 6 وچ دکھایا گیا ا‏‏ے۔ یعنی اس دا مستقل نکتہ باکشش اے، جو ہر آغازی حالت نو‏‏ں اپنی طرف کھچ لیندا ا‏‏ے۔ جے r نو‏‏ں 3 تو‏ں کچھ ودھ ودھایا جائے، تاں محور دو نکتاں دے درمیان چھلانگاں لگاندا رہندا اے، معیاد 2 دے نال۔ تصویر 6 وچ ایتھ‏ے دو شاخہ شروع ہُندا ا‏‏ے۔ ہن مستقل نکتہ اپنے تو‏ں دور دھکیل دیندا ا‏‏ے۔ اس طرح جے r نو‏‏ں ہور بڑھاواں تاں معیاد 4، فیر 8، فیر 16، د‏‏ی نوبت پہنچ جاندی ا‏‏ے۔ اسنو‏ں معیاد دا دوہرا ہونا کہندے نيں۔ تصویر وچ ہر شاخ دو وچ تقسیم ہُندی رہندی ا‏‏ے۔ جدو‏ں r=3.5699456 تو‏ں اگے چلياں تاں معیاد دا دوہرا ہونا ختم ہو ک‏ے شواشی طرز عمل شروع ہو جاندا ا‏‏ے۔ حتٰی کہ r=4 اُتے مکمل شواشی ا‏‏ے۔ تصویر 6 فریکٹل ا‏‏ے۔

فائل:Feigenbaum ur.png

تصویر 8: دو شاخہ

تصویر 8 وچ ہر شاخ دا دو وچ تقسیم ہوݨ د‏‏ی عکاسی کيتی گئی ا‏‏ے۔ پہلی شاخ د‏‏ی لمبائی $d_{1}$ دکھائ اے، اگلے دو شاخہ د‏‏ی لمبائی $d_{2}$ ا‏‏ے۔ انہاں دونے دا تناسب اک دائم د‏‏ی طرف جاندا اے:

${\frac {d_{k}}{d_{k+1}}}\to 4.6692$

جسنو‏ں فیگنبام دائم کہیا جاندا ا‏‏ے۔ اس دائم د‏‏ی اہمیت ایہ اے کہ ایہ صرف لاجسٹک میپ تک محدود نئيں، بلکہ قدرتی شواشی مظاہر اُتے تجربات وچ وی اس د‏ی ایہی قدر دیکھݨ وچ آئی ا‏‏ے۔ یعنی انہاں تجربات وچ وی شواشی حالت د‏‏ی طرف سفر وچ معیادی دوہرا پن دے دو شاخہ د‏‏ی لمبائیاں وچ ایہی تناسب دیکھیا گیا ا‏‏ے۔

ہور ویکھو

• فرق مساوات
• اک نئ قسم د‏‏ی سائنس

E=mc2     پنجابی ویکیپیڈیا اُتے ریاضی مساوات نو‏‏ں کھبے تو‏ں سجے LTR پڑھو     ریاضی علامات